Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde d1:3x−4y+11=0d_1: 3x - 4y + 11 = 0 ve d2:3x−4y−4=0d_2: 3x - 4y - 4 = 0 doğruları veriliyor. Karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerinde bulunan bir karenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    3
  2. B
    1,96
  3. 9Answer
  4. D
    15
  5. E
    25

Answer

Karenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen doğruların katsayıları aynı olduğu için paraleldirler. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü olan h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} uygulandığında, pay kısmında ∣11−(−4)∣=15|11 - (-4)| = 15 ve payda kısmında 32+(−4)2=5\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 değerleri elde edilir. Buradan uzaklık (karenin bir kenarı) 15/5=315/5 = 3 birim olarak bulunur. Karenin alanı bir kenarının karesi olduğundan 32=93^2 = 9 birimkare sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların paralelliğinin ve genel denklemlerinin kontrol edilmesi
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının katsayıları (33 ve −4-4) aynı olduğundan bu doğrular paraleldir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların oranlı veya eşit olması gerekir.
2
Paralel doğrular arasındaki uzaklığın (hh) hesaplanması
h=∣11−(−4)∣32+(−4)2=155=3h = \frac{|11 - (-4)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3 birim
Karenin karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerindeyse, doğrular arası dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
3
Karenin alanının hesaplanması
Alan =h2=32=9= h^2 = 3^2 = 9 birimkare
Bir kenarı aa olan karenin alanı a2a^2 formülüyle bulunur.

Key Concept

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü

Hints

1
Karenin karşılıklı kenarları paraleldir; bu doğrular arasındaki dik uzaklık size karenin bir kenarını verecektir.
2
Ax+By+C1=0Ax + By + C_1 = 0 ve Ax+By+C2=0Ax + By + C_2 = 0 doğruları arasındaki uzaklık h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülü ile bulunur.
3
Formüldeki değerleri yerine koyduğunuzda ∣11−(−4)∣|11 - (-4)| ifadesini 32+(−4)2\sqrt{3^2 + (-4)^2} değerine bölerek kenar uzunluğunu bulun ve sonucun karesini alın.

Practice More

Benzer bir soruda karenin çevresini veya köşegen uzunluğunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Doğrulardan biri üzerinde (örneğin d2d_2 üzerinde) bir nokta seçip (örneğin (0,−1)(0, -1) noktası), bu noktanın d1d_1 doğrusuna olan uzaklığını 'noktanın doğruya uzaklığı' formülü ile hesaplayarak da kenar uzunluğuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic