Examkin

Question

Difficulty: MediumKümeler

A={x∈Z∣10<x≤100, x=3k, k∈Z}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x \le 100, \: x = 3k, \: k \in \mathbb{Z}\}

B={x∈Z∣20≤x<110, x=4k, k∈Z}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 \le x < 110, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z}\}

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    44
  2. 46Answer
  3. C
    48
  4. D
    53
  5. E
    50

Answer

Birleşim kümesinin eleman sayısı 46 olarak bulunur.
Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 30 eleman ve 4'ün katı olan 23 eleman bulunmaktadır. Bu kümelerin kesişimi olan ve her iki şarta da uyan 12'nin katı olan 7 eleman mevcuttur. Birleşim kümesi formülü gereği bu ortak elemanların bir kez çıkarılmasıyla 46 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(A)=30s(A) = 30
10<x≤10010 < x \le 100 aralığında 3'ün katı olan sayılar 12,15,…,9912, 15, \dots, 99 şeklindedir. Terim sayısı: 99−123+1=29+1=30\frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 olur.
2
BB kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(B)=23s(B) = 23
20≤x<11020 \le x < 110 aralığında 4'ün katı olan sayılar 20,24,…,10820, 24, \dots, 108 şeklindedir. Terim sayısı: 108−204+1=22+1=23\frac{108 - 20}{4} + 1 = 22 + 1 = 23 olur.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) belirleyelim.
s(A∩B)=7s(A \cap B) = 7
A∩BA \cap B kümesi, hem 3'ün hem de 4'ün katı olan (yani EKOK(3,4)=12EKOK(3,4) = 12'nin katı olan) elemanlardan oluşur. Aralık ise her iki kümenin kesişimi olan 20≤x≤10020 \le x \le 100 aralığıdır. Bu sayılar 24,36,48,60,72,84,9624, 36, 48, 60, 72, 84, 96 olup toplam 7 tanedir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayalım.
s(A∪B)=46s(A \cup B) = 46
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden; 30+23−7=4630 + 23 - 7 = 46 bulunur.

Key Concept

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

Hints

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı terim sayısı formülünü kullanarak bulun.
2
İki kümenin ortak elemanlarını (yani hem 3'e hem de 4'e bölünebilenleri) belirleyip kesişim kümesini oluşturun.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, toplamdan kesişimin çıkarılması gerektiğini unutmayın: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

Practice More

Kümelerdeki fark işlemini pekiştirmek için s(A∖B)s(A \setminus B) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic