Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;

ABC=25⋅(A+B+C)ABC = 25 \cdot (A + B + C)

eşitliğini sağlayan ABCABC üç basamaklı doğal sayısı için A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
  1. A
    20
  2. B
    90
  3. 105Answer
  4. D
    120
  5. E
    150

Answer

Rakamları çarpımı 105 olan 375 sayısıdır.
Verilen ABC=25(A+B+C)ABC = 25(A+B+C) eşitliği çözümlendiğinde 25A=5B+8C25A = 5B + 8C elde edilir. 5 ile bölünebilme kuralından C=5C=5 olmak zorundadır (sıfırdan farklı dediği için). Yerine yazıldığında 5A=B+85A = B+8 bulunur. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu sadece A=3,B=7A=3, B=7 durumunda sağlanır. Böylece sayı 375 ve rakamları çarpımı 105 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği basamak değerlerine göre çözümle:
100A+10B+C=25(A+B+C)100A + 10B + C = 25(A + B + C)
Üç basamaklı sayının çözümlenmiş hali yazılır.
2
Parantezi açıp benzer terimleri bir araya getir:
100A+10B+C=25A+25B+25C100A + 10B + C = 25A + 25B + 25C ⇒75A=15B+24C\Rightarrow 75A = 15B + 24C
Denklemi sadeleştirmek için A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Denklemin her iki tarafını 3 ile sadeleştir:
25A=5B+8C25A = 5B + 8C
Katsayıları küçülterek analizi kolaylaştırmak için.
4
Modüler aritmetik veya bölünebilme kurallarını kullanarak C değerini bul:
25A25A ve 5B5B 5'in katıdır, bu yüzden 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C bir rakam ve C≠0C \neq 0 (sıfırdan farklı) olduğu için C=5C = 5 olmalıdır.
Bir toplamda terimlerin çoğu 5'e bölünüyorsa, kalan terim de 5'e bölünmelidir.
5
C = 5 değerini yerine yazıp A ve B'yi bul:
25A=5B+8(5)⇒25A=5B+40⇒5A=B+825A = 5B + 8(5) \Rightarrow 25A = 5B + 40 \Rightarrow 5A = B + 8. B bir rakam olduğundan (B≤9B \le 9), 5A≤175A \le 17 olur. A=1, 2 veya 3 olabilir. A=1⇒B=−3A=1 \Rightarrow B=-3 (olmaz). A=2⇒B=2A=2 \Rightarrow B=2 (olmaz, A ve B farklı olmalı). A=3⇒B=7A=3 \Rightarrow B=7 (olur).
Elde edilen basit eşitlikte rakam olma ve birbirinden farklı olma koşulları denenir.
6
Sonuçları çarp:
A=3,B=7,C=5A=3, B=7, C=5 olduğundan 3⋅7⋅5=1053 \cdot 7 \cdot 5 = 105.
İstenen değer rakamların çarpımıdır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde açarak eşitliği düzenleyin.
2
Elde ettiğiniz 75A=15B+24C75A = 15B + 24C denklemini sadeleştirin ve 5 ile bölünebilme kuralını düşünün.
3
25A=5B+8C25A = 5B + 8C eşitliğinde, 25A25A ve 5B5B 5'in katıdır. Eşitliğin sağlanması için 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C rakam olduğu için C kaç olabilir?

Practice More

Benzer mantıkla ABC=11(A+B+C)ABC = 11(A+B+C) şartını sağlayan sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

ABC sayısı 25'in katı olmalıdır. Sonu 25, 50, 75 ile biten (00 olamaz çünkü C sıfırdan farklı) üç basamaklı sayılar üzerinden deneme-yanılma yapılabilir. Örneğin 375 için: 3+7+5=15 ve 15x25=375 sağlar.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic