Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

nn bir pozitif tam sayı olmak üzere, 3n+13n+1 ve 5n+45n+4 sayıları aralarında asal değildir.

Buna göre, nn sayısının alabileceği iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

  1. 39Answer
  2. B
    53
  3. C
    32
  4. D
    25
  5. E
    11

Answer

n sayısının alabileceği en küçük iki basamaklı değerlerin toplamı 39'dur.
Verilen 3n+13n+1 ve 5n+45n+4 sayılarının aralarında asal olmaması, bu iki sayının ortak bir asal bölene sahip olduğu anlamına gelir. Öklid algoritması adımları (5n+4−(3n+1)=2n+35n+4 - (3n+1) = 2n+3; 3n+1−(2n+3)=n−23n+1 - (2n+3) = n-2; 2n+3−2(n−2)=72n+3 - 2(n-2) = 7) takip edildiğinde bu ortak bölenin sadece 7 olabileceği görülür. Dolayısıyla n−2n-2 sayısı 7'nin katı olmalıdır (n=7k+2n = 7k+2). Bu şartı sağlayan iki basamaklı en küçük tam sayılar 16 ve 23 olup toplamları 39'dur.

Step-by-Step Solution

1
İki sayının aralarında asal olmama şartını belirlemek.
EBOB(5n+4,3n+1)>1EBOB(5n+4, 3n+1) > 1
Aralarında asal olmayan sayıların 1'den büyük en az bir ortak böleni olmalıdır.
2
Öklid algoritması kullanarak EBOB ifadesini sadeleştirmek.
EBOB(5n+4,3n+1)=EBOB(3n+1,2n+3)=EBOB(2n+3,n−2)=EBOB(n−2,7)EBOB(5n+4, 3n+1) = EBOB(3n+1, 2n+3) = EBOB(2n+3, n-2) = EBOB(n-2, 7)
Sayılar arasındaki fark veya katlar çıkarılarak EBOB'un değişmemesi kuralı uygulanmıştır.
3
Ortak bölenin sağlanması için n üzerindeki kısıtı bulmak.
n−2=7k⇒n=7k+2n-2 = 7k \Rightarrow n = 7k+2
EBOB(n−2,7)>1EBOB(n-2, 7) > 1 olması için n−2n-2 ifadesi 7'nin katı olmalıdır.
4
İki basamaklı en küçük n değerlerini tespit etmek.
k=1⇒n=9k=1 \Rightarrow n=9 (tek basamaklı), k=2⇒n=16k=2 \Rightarrow n=16 (iki basamaklı), k=3⇒n=23k=3 \Rightarrow n=23 (iki basamaklı)
kk tam sayı değerleri verilerek iki basamaklı ilk iki değer bulunur.
5
Bulunan değerleri toplamak.
16+23=3916 + 23 = 39
Soruda istenen iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı hesaplanır.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olmaması, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1'den büyük olması anlamına gelir. Polinom şeklindeki ifadelerin EBOB'u bulunurken Öklid algoritması (EBOB(a,b)=EBOB(b,a−kb)EBOB(a, b) = EBOB(b, a-kb)) en etkili yöntemdir.

Practice More

Benzer bir soru olarak, 2n+12n+1 ve 3n+23n+2 sayılarının her nn pozitif tam sayısı için neden aralarında asal olduğunu ispatlayınız.

Alternative Method

n yerine küçük tam sayı değerleri vererek deneme yapılabilir: n=2 için (7, 14) aralarında asal değildir. n=9 için (28, 49) aralarında asal değildir. Artış miktarının 7 olduğu görülerek n=16 ve n=23 değerlerine ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic