Examkin

Question

Difficulty: MediumAralarında Asal Sayılar

xx ve yy aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

x+12y=11x + \frac{12}{y} = 11

olduğuna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    7
  3. 12Answer
  4. D
    20
  5. E
    39

Answer

Aralarında asallık şartını sağlayan xx değerlerinin toplamı 12'dir.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı çiftlerinden sadece (5, 2) ve (7, 3) ikilileri aralarında asaldır. Bu ikililerdeki x değerleri olan 5 ve 7'nin toplamı 12 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi xx değerlerini bulacak şekilde düzenleyin.
x=11−12yx = 11 - \frac{12}{y} veya 12y=11−x\frac{12}{y} = 11 - x elde edilir.
xx ve yy tam sayı olduğundan, yy ifadesi 12'nin bir tam böleni olmalıdır.
2
12'nin pozitif bölenlerini belirleyerek xx değerlerini hesaplayın.
y=1⇒x=−1y = 1 \Rightarrow x = -1 (Pozitif tam sayı değil)
y=2⇒x=5y = 2 \Rightarrow x = 5
y=3⇒x=7y = 3 \Rightarrow x = 7
y=4⇒x=8y = 4 \Rightarrow x = 8
y=6⇒x=9y = 6 \Rightarrow x = 9
y=12⇒x=10y = 12 \Rightarrow x = 10
xx ve yy pozitif tam sayı olduğu için sadece bu durumlar incelenir.
3
Bulunan (x,y)(x, y) çiftlerinin aralarında asal olup olmadığını kontrol edin.
(5,2)→(5, 2) \rightarrow Aralarında asal (EBOB=1)
(7,3)→(7, 3) \rightarrow Aralarında asal (EBOB=1)
(8,4)→(8, 4) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=4)
(9,6)→(9, 6) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=3)
(10,12)→(10, 12) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=2)
Soruda xx ve yy sayılarının 1'den başka ortak böleni olmaması gerektiği belirtilmiştir.
4
Şartı sağlayan xx değerlerini toplayın.
5+7=125 + 7 = 12
Sadece aralarında asal olan çiftlere ait xx değerleri işleme alınır.

Key Concept

İki pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Bu tür denklemlerde tam bölünebilme ve aralarında asallık kısıtları birlikte değerlendirilmelidir.

Hints

1
xx tam sayı olduğuna göre, yy sayısı 12'yi tam bölmelidir.
2
12'nin bölenlerini (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) yy yerine koyarak xx değerlerini bulun ve negatif olanları eleyin.
3
Bulduğunuz her (x,y)(x, y) ikilisinde sayıların 1 dışında ortak böleni olup olmadığını kontrol edin (örneğin 8 ve 4 ikisini de 2 böler).

Practice More

Benzer bir soruyu xx ve yy aralarında asal iken x⋅y+12=11yx \cdot y + 12 = 11y şeklinde düzenleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic