Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Kenar sayısı nn olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü α\alpha, kenar sayısı 2n2n olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise (α+15∘)(\alpha + 15^\circ) olarak verilmiştir.

Buna göre, kenar sayısı nn olan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    44
  3. 54Answer
  4. D
    65
  5. E
    90

Answer

Kenar sayısı n=12n=12 olduğundan toplam köşegen sayısı 54'tür.
Soruda verilen bilgilere göre, kenar sayısı nn olan düzgün çokgen ile 2n2n olan düzgün çokgenin iç açıları farkı 15∘15^\circ'dir. İç açılar toplamı sabit (180∘180^\circ) olduğu için, iç açıdaki 15∘15^\circ'lik artış, dış açıda 15∘15^\circ'lik bir azalmaya denk gelir. nn kenarlı çokgenin dış açısı 360n\frac{360}{n}, 2n2n kenarlı çokgenin dış açısı 3602n=180n\frac{360}{2n} = \frac{180}{n}'dir. Bu fark 360n−180n=180n=15∘\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = \frac{180}{n} = 15^\circ denklemini verir. Buradan n=12n=12 bulunur. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ise 12(12−3)2=54\frac{12(12-3)}{2} = 54 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün çokgenin bir iç açısı formülünü veya dış açı ilişkisini belirle.
Bir iç açı = 180∘−Dıs¸ Ac¸ı180^\circ - \text{Dış Açı} ve Dış Açı = 360∘n\frac{360^\circ}{n}.
İç açılar üzerinden denklem kurmak yerine dış açılar farkını kullanmak işlemi basitleştirir.
2
Verilen iki çokgenin dış açılarını ifade et ve fark denklemini kur.
nn kenarlı çokgenin dış açısı d1=360nd_1 = \frac{360}{n}, 2n2n kenarlı çokgenin dış açısı d2=3602n=180nd_2 = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}. İç açısı 15∘15^\circ artıyorsa, dış açısı 15∘15^\circ azalmıştır: d1−d2=15d_1 - d_2 = 15.
İç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ olduğundan, iç açıdaki artış dış açıdaki azalışa eşittir.
3
Denklemi çözerek nn değerini bul.
360n−180n=15⇒180n=15⇒n=18015=12\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow n = \frac{180}{15} = 12.
Kenar sayısını bulmak için.
4
Toplam köşegen sayısı formülünü n=12n=12 için uygula.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2=12(12−3)2=12×92=54\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 54.
Soruda istenen nihai değeri hesaplamak için.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı arttıkça iç açı artar, dış açı azalır. Dış açı formülü (360/n360/n) genellikle iç açı formülünden (180(n−2)/n180(n-2)/n) daha pratik çözümler sağlar.

Hints

1
Düzgün çokgenlerde iç açı formülü biraz karmaşık olabilir (180(n−2)/n180(n-2)/n). Bunun yerine, bir iç açı ile bir dış açının toplamının 180∘180^\circ olduğu bilgisini kullanarak dış açılar üzerinden gitmeyi dene.
2
Kenar sayısı nn olan çokgenin dış açısı 360/n360/n, kenar sayısı 2n2n olanınki ise 360/(2n)360/(2n)'dir. İç açı 15∘15^\circ arttıysa, dış açı 15∘15^\circ azalmıştır.
3
360n−3602n=15\frac{360}{n} - \frac{360}{2n} = 15 denklemini çözerek nn sayısını bul, sonra n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülünü kullan.

Practice More

İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Alternative Method

Dış açı formülü yerine iç açı formülüyle çözüm: (2n−2)1802n−(n−2)180n=15\frac{(2n-2)180}{2n} - \frac{(n-2)180}{n} = 15 denklemi kurulabilir. Paydalar eşitlenerek çözüm yapıldığında yine n=12n=12 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic