Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB sayısının 8 katı ile iki basamaklı BCBC sayısının 2 katının toplamına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. 16Answer
  4. D
    18
  5. E
    20

Answer

En büyük ABCABC sayısı 448'dir ve rakamları toplamı 16'dır.
Verilen eşitlik basamak değerlerine ayrıldığında 20A=18B+C20A = 18B + C bağıntısı elde edilir. C'nin bir rakam olması koşulu (0 ile 9 arasında) kullanılarak A'ya değer verildiğinde, A'nın en çok 4 olabileceği görülür (A=5 için C=10 olur, geçersizdir). A=4 için B=4 ve C=8 bulunur. Böylece en büyük ABC sayısı 448 olur. Rakamları toplamı 4+4+8=16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök.
ABC=8⋅(AB)+2⋅(BC)ABC = 8 \cdot (AB) + 2 \cdot (BC)
Sorudaki ilişkiyi çözümlemek için basamak analizi yapılmalıdır.
2
Basamak değerlerini açarak denklemi düzenle.
100A+10B+C=8(10A+B)+2(10B+C)100A + 10B + C = 8(10A + B) + 2(10B + C)
100A+10B+C=80A+8B+20B+2C100A + 10B + C = 80A + 8B + 20B + 2C
100A+10B+C=80A+28B+2C100A + 10B + C = 80A + 28B + 2C
A, B ve C rakamları arasındaki ilişkiyi sadeleştirmek için.
3
Benzer terimleri bir araya getirerek en sade hali bul.
20A=18B+C20A = 18B + C
Değer vererek çözüme ulaşmak için denklem en basit hale getirilmelidir.
4
C bir rakam (0≤C≤90 \le C \le 9) olduğu için A'nın alabileceği değerleri ve buna karşılık gelen B ve C değerlerini test et.
Tablo oluşturarak inceleyelim:

- A=1  ⟹  20=18(1)+2  ⟹  B=1,C=2→112A=1 \implies 20 = 18(1) + 2 \implies B=1, C=2 \to 112
- A=2  ⟹  40=18(2)+4  ⟹  B=2,C=4→224A=2 \implies 40 = 18(2) + 4 \implies B=2, C=4 \to 224
- A=3  ⟹  60=18(3)+6  ⟹  B=3,C=6→336A=3 \implies 60 = 18(3) + 6 \implies B=3, C=6 \to 336
- A=4  ⟹  80=18(4)+8  ⟹  B=4,C=8→448A=4 \implies 80 = 18(4) + 8 \implies B=4, C=8 \to 448
- A=5  ⟹  100=18(5)+10  ⟹  C=10A=5 \implies 100 = 18(5) + 10 \implies C=10 (Rakam değil, geçersiz)
C'nin tek basamaklı bir sayı olması kısıtlaması çözüm kümesini belirler.
5
Bulunan sayılar arasından en büyüğünü seç ve rakamlarını topla.
En büyük sayı ABC=448ABC = 448. Rakamlar toplamı: 4+4+8=164 + 4 + 8 = 16.
Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Key Concept

Basamak Çözümleme ve Değer Verme

Hints

1
ABC, AB ve BC sayılarını basamak değerlerine göre (100A+10B+C100A+10B+C gibi) açarak bir eşitlik elde etmeyi deneyin.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 20A=18B+C20A = 18B + C gibi bir ifade bulmalısınız. Burada A, B ve C'nin birer rakam olduğunu unutmayın.
3
C=20A−18BC = 20A - 18B eşitliğinde C'nin 0 ile 9 arasında bir rakam olması gerektiğini kullanarak A'ya sırasıyla 1, 2, 3... değerlerini verin.

Practice More

Rakamları birbirinden farklı koşulu eklenirse çözüm kümesinin nasıl değişeceğini (veya çözümün olup olmayacağını) inceleyiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic