Examkin

Question

Difficulty: MediumTekrarlı Permütasyon

0,0,1,1,2,30, 0, 1, 1, 2, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek birbirinden farklı, 6 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

  1. A
    60
  2. B
    90
  3. 120Answer
  4. D
    150
  5. E
    180

Answer

120
Verilen rakam kümesi {0,0,1,1,2,3}\{0, 0, 1, 1, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır, bunlardan 0 ve 1 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir. Tüm durumların sayısı tekrarlı permütasyon formülü ile 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak sayının 6 basamaklı olması için başa 0 gelemez. Başa gelebilecek adaylar {1,1,2,3}\{1, 1, 2, 3\} olmak üzere 4 tanedir. Toplam 6 rakamdan 4'ü uygun olduğundan, tüm durumların 46\frac{4}{6}'sı geçerlidir. Sonuç 180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rakamların toplam sayısını ve tekrar eden rakamları belirle.
Toplam rakam (n) = 6. Tekrar edenler: 0 (2 adet), 1 (2 adet).
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayabilmek için n ve tekrar sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Koşulsuz tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup, daha sonra istenmeyen durumları elemek veya oran yöntemi kullanmak için gereklidir.
3
Sayının 6 basamaklı olabilmesi için 0 ile başlayamayacağı durumunu hesaba kat.
Toplam 6 rakamdan 4 tanesi (1, 1, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Geçerli oran 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir sayının 6 basamaklı olması için binler basamağında 0 olamaz.
4
Tüm durumları geçerli oranla çarp.
180×23=120180 \times \frac{2}{3} = 120
Bu işlem, sadece 0 ile başlamayan geçerli dizilimlerin sayısını verir.

Key Concept

Tekrarlı nesnelerin sıralanışında, eğer kısıtlayıcı bir koşul (örneğin 0'ın başa gelememesi) varsa, tüm durumların sayısı hesaplanıp geçerli durumların oranına çarpılarak sonuç bulunur.

Hints

1
Tekrarlı permütasyon formülünü (n!/n1!⋅n2!…n! / n_1! \cdot n_2! \dots) kullanarak tüm sıralamaları bulabilirsin.
2
Bir sayının 6 basamaklı olabilmesi için ilk basamağı 0 olamaz.
3
Tüm durumların sayısını bulup, başa 0 gelmeyen (yani sıfır dışındaki) rakamların toplam rakamlara oranını ile çarpabilirsin.

Practice More

İçinde 0 bulunmayan ancak belirli rakamların yan yana gelmesi gereken tekrarlı permütasyon soruları çözülebilir.

Alternative Method

Tüm durumlardan (180), 0 ile başlayan durumları (0'ı başa sabitleyip kalan 5 rakamı sıralayarak: 5!/2! = 60) çıkararak da sonuca ulaşılabilir: 180 - 60 = 120.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic