Examkin

Tekrarlı Permütasyon

33 questions

Question 1Question →

0, 0, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

42
Verilen rakamlar {0, 0, 2, 2, 3, 3}. Çift sayı olması için son basamak 0 veya 2 olmalıdır. Sıfırın başa gelememe durumu, kalan sıfır sayısına göre değiştiği için iki durum ayrı incelenir.

1. Durum (Sonu 0):
Sona 0 sabitlenir. Kalanlar {0, 2, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar: 5!1!2!2!=30\frac{5!}{1!2!2!} = 30.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 0 koyarsak kalanlar {2, 2, 3, 3} →4!2!2!=6\rightarrow \frac{4!}{2!2!} = 6.
Geçerli sayı: 30−6=2430 - 6 = 24.

2. Durum (Sonu 2):
Sona 2 sabitlenir. Kalanlar {0, 0, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar: 5!2!1!2!=30\frac{5!}{2!1!2!} = 30.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 2 koyarsak kalanlar {0, 2, 3, 3} →4!1!1!2!=12\rightarrow \frac{4!}{1!1!2!} = 12.
Geçerli sayı: 30−12=1830 - 12 = 18.

Toplam: 24+18=4224 + 18 = 42.

Step-by-Step Solution

1
Problemi Durumlara Ayırma
Sayı çift olmalı, yani birler basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenmelidir.
Sıfırın hem başa gelememe kuralı hem de çift sayı olma kuralını etkilemesi nedeniyle, sıfırın sonda olduğu ve olmadığı durumlar farklı hesaplanmalıdır.
2
1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi
Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (6) = 24 sayı
Birler basamağına bir adet 0 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 2, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı: 5!1!2!2!=30\frac{5!}{1!2!2!} = 30. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 0 ile bitenler) çıkarılır: Kalan {2, 2, 3, 3} sıralaması 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6.
3
2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi
Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (12) = 18 sayı
Birler basamağına bir adet 2 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 0, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı: 5!2!1!2!=30\frac{5!}{2!1!2!} = 30. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 2 ile bitenler) çıkarılır: Başta 0, sonda 2 sabitken kalan {0, 2, 3, 3} sıralaması 4!1!1!2!=12\frac{4!}{1!1!2!} = 12.
4
Toplam Sonuç
24 + 18 = 42
İki ayrı durumun sonuçları toplanır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı hem başa gelememe kısıtlamasında hem de çiftlik kuralında rol oynuyorsa, durumlar 'sonu 0 olan' ve 'sonu 0 olmayan çift sayı' olarak ayrı ayrı incelenmelidir.

Hints

1
Sayı çift olacağı için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir, belirleyiniz.
2
Birler basamağına 0 geldiği durum ile 2 geldiği durumu ayrı ayrı incelemelisiniz. Çünkü elimizde kalan 0 sayısı başa gelme durumunu etkileyecektir.
3
Sonu 0 ise: Kalan {0,2,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Sonu 2 ise: Kalan {0,0,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Her iki durumda da başa 0 gelenleri çıkarmayı unutmayın.

Alternative Method

Tüm geçerli 6 basamaklı sayıları bulup (60 tane), bunlardan tek olanları (sonu 3 ile bitenleri) çıkarabilirsiniz. Sonu 3 ile biten geçerli sayı adedi 18'dir. 60 - 18 = 42.
Estimated Time:2m 30s
Question 2Question →

Bir belediyenin park ve bahçeler müdürlüğü, düz bir yürüyüş yolunun kenarına dikmek üzere 3 adet özdeş ıhlamur, 2 adet özdeş çınar ve 2 adet özdeş meşe ağacı fidanı hazırlamıştır.

Bu 7 fidanın tamamı, yan yana ve eşit aralıklarla dikilecektir. Türleri bakımından bu fidanlar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

Fidanlar türleri bakımından 210 farklı şekilde sıralanabilir.
Toplam 7 fidan vardır ancak bunların 3'ü ıhlamur, 2'si çınar ve 2'si meşe olarak özdeştir. Tekrarlı permütasyon formülü gereği toplam faktöriyel (7!), tekrar edenlerin faktöriyellerinin çarpımına (3! . 2! . 2!) bölünür. İşlem sonucu 210 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nesne sayısı ve tekrar eden grupları belirle.
Toplam fidan (n) = 3 + 2 + 2 = 7. Tekrar edenler: 3 ıhlamur, 2 çınar, 2 meşe.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayabilmek için n ve n1, n2, n3 değerlerinin tespiti gerekir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü uygula.
7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2}
n tane nesnenin n1, n2, ... tanesi özdeş ise sıralama sayısı n!n1!⋅n2!…\frac{n!}{n1! \cdot n2! \dots} formülü ile bulunur.
3
İşlemleri sadeleştirerek sonucu bul.
504024=210\frac{5040}{24} = 210
Faktöriyel değerleri hesaplanıp bölme işlemi yapılır.

Key Concept

Özdeş nesnelerin sıralanmasında, nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin sonucu etkilemediği durumlar için Tekrarlı Permütasyon formülü kullanılır.
Question 3Question →

Bir şirketin hizmet içi eğitim programı kapsamında personele 3 gün Liderlik, 2 gün İletişim ve 2 gün Proje Yönetimi olmak üzere toplam 7 günlük eğitim verilecektir. Eğitim programı ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* İletişim eğitimleri art arda günlerde verilecektir.
* Proje Yönetimi eğitimleri art arda günlerde verilmeyecektir.

Buna göre, bu 7 günlük eğitim programı kaç farklı sıralama ile hazırlanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Eğitim programı 40 farklı şekilde hazırlanabilir.
Doğru cevap, İletişim eğitimlerinin (İİ) tek bir nesne gibi düşünüldüğü tüm durumlardan (60), hem İletişim hem de Proje (PP) eğitimlerinin bitişik olduğu durumların (20) çıkarılmasıyla 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri ve kısıtlamaları belirle.
3 adet Liderlik (L), 2 adet İletişim (İ), 2 adet Proje (P) eğitimi var. 'İ'ler bir arada olacak, 'P'ler bir arada olmayacak.
Permütasyon hesabını doğru kurgulamak için gruplandırma ve ayırma stratejilerini belirlemek gerekir.
2
İletişim eğitimlerini (İ) tek bir blok kabul et.
Nesneler: {L, L, L, (İİ), P, P}. Burada (İİ) tek bir nesne (X) gibi davranır.
'Art arda' koşulu olan nesneler bağlanarak tek bir birim haline getirilir.
3
Proje (P) eğitimlerinin yan yana OLMADIĞI durumları bulmak için 'Tüm Durum - İstenmeyen Durum' yöntemini kullan.
Tüm Durum (P kısıtı olmadan): {L, L, L, X, P, P} sıralaması.
Nesne sayısı: 6 (3 tane L, 1 tane X, 2 tane P).
Tekrarlı Permütasyon: 6! / (3! · 1! · 2!) = 720 / (6 · 2) = 60.
Önce İletişim eğitimlerinin yan yana olduğu tüm olası sıralamaları hesaplarız.
4
İstenmeyen durumu (P'lerin de yan yana olduğu durum) hesapla.
P'leri de blokla (Y). Nesneler: {L, L, L, X, Y}. Toplam 5 nesne.
Tekrarlı Permütasyon: 5! / 3! = 120 / 6 = 20.
Hem İ hem P bloklarının yan yana olduğu durumları çıkararak P'lerin ayrı olduğu durumları bulacağız.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
60 - 20 = 40.
İ'lerin yan yana olduğu tüm durumlardan, P'lerin de yan yana olduğu durumları çıkarınca geriye İ'lerin yan yana, P'lerin ayrı olduğu durumlar kalır.

Key Concept

Bu soru, tekrarlı permütasyon konusunda 'bloklama' (yan yana olma) ve 'ayırma/çıkarma' (yan yana olmama) yöntemlerinin birlikte kullanılmasını ölçmektedir.

Hints

1
İletişim eğitimleri art arda olacağı için bu 2 günü tek bir paket (X) gibi düşünün. Elinizde 3 Liderlik (L), 1 İletişim Paketi (X) ve 2 Proje (P) var.
2
Proje eğitimlerinin art arda OLMAMASI istendiği için, önce bu kısıt yokmuş gibi tüm durumları hesaplayın. Sonra Proje eğitimlerinin de yan yana olduğu istenmeyen durumları bulup çıkarın.

Practice More

Benzer mantıkla, '3 özdeş mavi, 3 özdeş kırmızı boncuk dizilirken kırmızıların hiçbiri yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizilim yapılır?' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Ayraç Yöntemi: İletişim (X) ve Liderlik (L) günlerini dizin: {L, L, L, X}. Bu 4 nesnenin dizilimi 4!/3! = 4 farklı şekilde olur (Örn: LXL L). Oluşan 5 boşluğa ( _ L _ X _ L _ L _ ) 2 tane Proje (P) eğitimini yerleştirin. C(5,2) = 10. Sonuç: 4 x 10 = 40.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →

Bir kırtasiyede satılan kalemlerden 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi mavi ve 2 tanesi siyahtır. Aynı renkteki kalemler özdeştir.

Bu kalemlerin tamamı yan yana dizilecektir. Mavi kalemlerin yan yana olması, siyah kalemlerin ise yan yana gelmemesi koşuluyla kaç farklı dizilim yapılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Kalemler belirtilen şartlara göre 40 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda verilen iki koşulu adım adım uygulamak gerekir. Önce 'Mavi kalemler yan yana' dediği için Mavi kalemleri (MM) tek bir paket (X) yaparız. 'Siyah kalemler yan yana gelmesin' dediği için Siyah kalemleri kenara ayırıp önce kalanları (X, K, K, K) dizeriz. Bu 4 nesne (biri X, üçü K) tekrarlı permütasyonla 4!/3!=44!/3! = 4 farklı şekilde dizilir. Bu nesnelerin oluşturduğu 5 boşluğa (sağ, sol ve aralar) 2 özdeş Siyah kalemi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Çarpım kuralı gereği 4×10=404 \times 10 = 40 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Nesneleri ve grupları tanımla.
3 Kırmızı (K, K, K), 2 Mavi (M, M), 2 Siyah (S, S). Toplam 7 kalem.
Sorudaki özdeş nesneleri ve sayılarını belirlemek çözümün temelidir.
2
'Yan yana olması' istenen Mavi kalemleri tek bir paket haline getir.
Mavi paketi (MM) = X olarak kabul edelim. Artık elimizde dizilecek nesneler: X, K, K, K ve (daha sonra yerleştireceğimiz) S, S.
Birlikte olması istenen nesneler bağlanarak tek bir nesne gibi işlem görür.
3
Yan yana gelmemesi gereken Siyah kalemler hariç diğer nesneleri (X ve K'leri) sırala.
Nesneler: X, K, K, K (Toplam 4 nesne, 3'ü özdeş K).
Permütasyon: 4!3!1!=4\frac{4!}{3!1!} = 4 farklı dizilim.
Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak iskelet dizilimi oluşturulur.
4
Oluşan boşluklara Siyah kalemleri yerleştir (Ayraç Yöntemi).
4 nesne (X, K, K, K) yan yana dizildiğinde baş, son ve aralar olmak üzere toplam 5 boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _).
Bu 5 boşluktan 2 tanesini seçip Siyah kalemleri yerleştireceğiz:
(52)=5×42=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10
Yan yana gelmemesi istenen nesneler, diğer nesnelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilir.
5
Sonuçları çarpma kuralı ile birleştir.
4×10=404 \times 10 = 40
Birinci aşamadaki dizilim sayısı ile ikinci aşamadaki yerleştirme sayısı çarpılır.

Key Concept

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana olma' durumu için paketleme (bloklama), 'yan yana olmama' durumu için ise boşluk (ayraç) yöntemi veya tüm durumdan çıkarma yöntemi kullanılır.

Hints

1
Önce yan yana olması istenen Mavi kalemleri birbirine bağlayarak tek bir nesne gibi düşünün.
2
Mavi paket ve Kırmızı kalemleri dizdikten sonra oluşan boşlukları sayın. Siyah kalemleri bu boşluklara yerleştirmelisiniz.
3
Mavi paket (X) ve 3 Kırmızı kalem (K,K,K) toplam 4 nesne olarak dizilir. Bu dizilim 5 boşluk yaratır. 2 Siyah kalemi bu 5 boşluktan ikisine yerleştirin.

Alternative Method

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: Mavi kalemlerin yan yana olduğu tüm durumlardan (Siyahların kısıtlanmadığı), hem Mavilerin hem de Siyahların yan yana olduğu durumları çıkarabilirsiniz.
1. Maviler birleşik, Siyahlar serbest: (MM), S, S, K, K, K →6!/(1!2!3!)=60\rightarrow 6! / (1! 2! 3!) = 60.
2. Maviler birleşik VE Siyahlar birleşik: (MM), (SS), K, K, K →5!/(1!1!3!)=20\rightarrow 5! / (1! 1! 3!) = 20.
3. Sonuç: 60−20=4060 - 20 = 40.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →

0,0,1,1,2,30, 0, 1, 1, 2, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek birbirinden farklı, 6 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

120
Verilen rakam kümesi {0,0,1,1,2,3}\{0, 0, 1, 1, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır, bunlardan 0 ve 1 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir. Tüm durumların sayısı tekrarlı permütasyon formülü ile 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak sayının 6 basamaklı olması için başa 0 gelemez. Başa gelebilecek adaylar {1,1,2,3}\{1, 1, 2, 3\} olmak üzere 4 tanedir. Toplam 6 rakamdan 4'ü uygun olduğundan, tüm durumların 46\frac{4}{6}'sı geçerlidir. Sonuç 180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rakamların toplam sayısını ve tekrar eden rakamları belirle.
Toplam rakam (n) = 6. Tekrar edenler: 0 (2 adet), 1 (2 adet).
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayabilmek için n ve tekrar sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Koşulsuz tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup, daha sonra istenmeyen durumları elemek veya oran yöntemi kullanmak için gereklidir.
3
Sayının 6 basamaklı olabilmesi için 0 ile başlayamayacağı durumunu hesaba kat.
Toplam 6 rakamdan 4 tanesi (1, 1, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Geçerli oran 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir sayının 6 basamaklı olması için binler basamağında 0 olamaz.
4
Tüm durumları geçerli oranla çarp.
180×23=120180 \times \frac{2}{3} = 120
Bu işlem, sadece 0 ile başlamayan geçerli dizilimlerin sayısını verir.

Key Concept

Tekrarlı nesnelerin sıralanışında, eğer kısıtlayıcı bir koşul (örneğin 0'ın başa gelememesi) varsa, tüm durumların sayısı hesaplanıp geçerli durumların oranına çarpılarak sonuç bulunur.

Hints

1
Tekrarlı permütasyon formülünü (n!/n1!⋅n2!…n! / n_1! \cdot n_2! \dots) kullanarak tüm sıralamaları bulabilirsin.
2
Bir sayının 6 basamaklı olabilmesi için ilk basamağı 0 olamaz.
3
Tüm durumların sayısını bulup, başa 0 gelmeyen (yani sıfır dışındaki) rakamların toplam rakamlara oranını ile çarpabilirsin.

Practice More

İçinde 0 bulunmayan ancak belirli rakamların yan yana gelmesi gereken tekrarlı permütasyon soruları çözülebilir.

Alternative Method

Tüm durumlardan (180), 0 ile başlayan durumları (0'ı başa sabitleyip kalan 5 rakamı sıralayarak: 5!/2! = 60) çıkararak da sonuca ulaşılabilir: 180 - 60 = 120.
Estimated Time:1m 30s
Question 6Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde; içerikleri bakımından birbirinden farklı 33 adet sarı, özdeş 22 adet mavi ve özdeş 22 adet kırmızı dosya bir rafa yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların daima bir arada olması ve mavi dosyaların kesinlikle yan yana gelmemesi koşuluyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

Dosyalar 240 farklı şekilde dizilebilir.
Kırmızı dosyalar bir arada olacağı için tek bir paket [KK] gibi düşünülür. Maviler şimdilik kenara ayrılır. Elimzde 3 farklı Sarı (S1, S2, S3) ve 1 Kırmızı Paket [KK] vardır. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Bu sıralama sonucunda nesnelerin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk oluşur. Mavilerin yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan 2 tanesi seçilip özdeş mavi dosyalar oraya konur (C(5,2)=10C(5,2)=10). Sonuç 24×10=24024 \times 10 = 240 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kırmızı dosyaları paketleyin (Blok Yöntemi)
Kırmızı dosyalar (KK) tek bir nesne kabul edilir.
Kırmızı dosyaların bir arada olması istendiği için onları ayrılmaz bir bütün olarak düşünmeliyiz. Kırmızılar özdeş olduğu için kendi aralarında yer değiştirmeleri durumu etkilemez (11 durum).
2
Mavi dosyalar haricindeki nesneleri sıralayın
4 nesne (3 Farklı Sarı + 1 Kırmızı Blok) 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Mavi dosyalar 'yan yana gelmeyecek' şartına sahip olduğu için onları en sona, boşluklara yerleştireceğiz. Önce diğerlerini dizmemiz gerekir.
3
Oluşan boşlukları belirleyin ve Mavi dosyaları yerleştirin (Ayıraç Yöntemi)
4 nesnenin yarattığı 5 boşluğa, 2 özdeş mavi dosya C(5,2)=10C(5,2) = 10 farklı şekilde yerleştirilir.
4 nesne yan yana dizildiğinde aralarında, başında ve sonunda toplam 55 boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _). Mavi dosyaların yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan herhangi 2'sini seçip yerleştirmeliyiz. Maviler özdeş olduğu için sıralama değil seçme (kombinasyon) yaparız.
4
Sonuçları çarpın
24×10=24024 \times 10 = 240.
Saymanın çarpma kuralı gereği, aşamalı işlemlerin sonuçları çarpılır.

Key Concept

Bu soru, 'Bloklama Yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'Ayıraç/Boşluk Yöntemi'nin (yan yana olmama şartı) birlikte kullanıldığı ve hem özdeş hem farklı nesnelerin bir arada bulunduğu ileri düzey bir tekrarlı permütasyon problemidir.

Hints

1
Önce şartı daha kısıtlayıcı olan 'Kırmızı' dosyaları halledin. Onları tek bir dosya gibi paketleyin.
2
'Yan yana gelmeme' sorularında en güvenli yol 'Boşluk (Ayıraç) Yöntemi'dir. Önce diğer dosyaları dizin, sonra mavileri oluşan boşluklara yerleştirin.
3
3 farklı Sarı ve 1 Kırmızı paketini dizdikten sonra 5 boşluk oluşur. 2 özdeş Mavi dosyayı bu 5 boşluğa kaç farklı şekilde seçip koyabilirsiniz?

Practice More

Benzer mantığı pekiştirmek için: '3 farklı matematik ve 4 özdeş fizik kitabı, fizik kitaplarının hiçbiri yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilir?' sorusunu çözünüz.

Alternative Method

Tüm Durum - İstenmeyen Durum yöntemiyle de çözülebilir ancak bu soruda çok karmaşıktır çünkü 'Maviler yan yana' durumunu çıkarırken 'Kırmızılar yan yana' şartını korumanız gerekir. Boşluk yöntemi daha pratiktir.
Estimated Time:4m 0s
Question 7Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde, 3 adet A marka, 3 adet B marka ve 2 adet C marka olmak üzere toplam 8 adet sunucu tek bir sıra halinde rafa dizilecektir.

Dizilişin en başında A marka bir sunucunun bulunması ve C marka sunucuların yan yana gelmemesi koşuluyla bu sunucular kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Sunucular verilen koşullara uygun olarak 150 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki temel kısıt vardır: İlk elemanın sabitlenmesi ve belirli elemanların (C) yan yana gelmemesi. Önce koşulsuz elemanlar (2 tane A, 3 tane B) sıralanır. Bu 5 eleman 5!/(2!3!)=105!/(2!3!) = 10 farklı 'iskelet' oluşturur. C marka sunucular bu iskeletin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmelidir. Başta sabit bir A olduğu için, sabit A ile iskeletin ilk elemanı arası da geçerli bir boşluktur. Böylece 5 elemanın oluşturduğu 6 potansiyel boşluk (A_sabit _ E1 _ E2 _ E3 _ E4 _ E5 _) vardır. Özdeş 2 adet C sunucusu bu 6 boşluğa C(6,2)=15C(6,2)=15 farklı şekilde yerleşir. Çarpma kuralı ile 10×15=15010 \times 15 = 150 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sabit koşulu uygula ve kalan elemanları belirle.
Dizilişin başında 1 adet A marka sunucu sabitlenir. Geriye kalan düzenlenecek elemanlar: 2 adet A, 3 adet B, 2 adet C.
Sıralama problemini basitleştirmek için sabit elemanı ayırıp kalan havuza odaklanmalıyız.
2
'Yan yana gelmeme' koşulu olmayan elemanların (iskelet) sıralanmasını hesapla.
C'ler hariç kalan elemanlar (2 adet A, 3 adet B) için tekrarlı permütasyon: 5!/(2!×3!)=120/12=105! / (2! \times 3!) = 120 / 12 = 10 farklı durum.
Önce kısıtlamasız elemanları yerleştirerek C sunucuları için boşluklar yaratırız.
3
C sunucularının yerleşebileceği uygun boşluk sayısını belirle.
Başta sabit bir A var. Sonra sıralanan 5 eleman (Örn: A B B A B) gelir. Boşluklar: Sabit A'dan sonraki boşluk dahil, elemanların arası ve sonu. Toplam boşluk sayısı = 5+1=65 + 1 = 6.
Başlangıçtaki sabit A ile dizilen ilk eleman arasına da C gelebilir. Toplam 6 uygun yer vardır.
4
C sunucularını boşluklara yerleştir ve toplam sonucu bul.
6 boşluktan 2'sini seçip C'leri yerleştirme: C(6,2)=15C(6, 2) = 15. Toplam durum: 10×15=15010 \times 15 = 150.
Çarpma kuralı gereği, iskelet dizilim sayısı ile boşluk seçim sayısını çarparız.

Key Concept

Ayraç Yöntemi ve Sabit Elemanlı Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Önce koşulsuz olanları (A ve B'leri) yerleştirip bir 'iskelet' oluşturun, sonra C'leri aralara serpiştirin.
2
En baştaki A sunucusu sabittir, onu dizilişe dahil etmeyin. Kalan 2 A ve 3 B'yi kaç farklı şekilde dizersiniz?
3
2 A ve 3 B sunucusu 10 farklı şekilde dizilir. Bu dizilim 6 boşluk yaratır (baştaki sabit A'nın hemen sağı dahil). C'ler bu 6 boşluktan 2'sine yerleşmelidir.

Practice More

Benzer mantıkla, 'KARAKARTAL kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin yan yana gelmediği kaç kelime yazılabilir?' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi: Başta A olan tüm durumlar (210210) hesaplanır. Bundan, C'lerin yan yana olduğu durumlar (CC tek paket kabul edilip hesaplanır: 6!/(2!3!1!)=606!/(2!3!1!) = 60) çıkarılır. 210−60=150210 - 60 = 150.
Estimated Time:3m 0s
Question 8Question →

Aşağıda verilen rakamların tamamı kullanılarak 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

{0,0,2,2,3,4,4} \{ 0, 0, 2, 2, 3, 4, 4 \}
Show answer & explanation

Answer: 390

Answer

Toplamda 390 farklı çift sayı yazılabilir.
Verilen rakamlarla oluşturulabilecek çift sayılar için son basamağın 0, 2 veya 4 olması gerekir. Kümede 0 rakamı da bulunduğu için, 0'ın sonda kullanılması ile diğer çift rakamların sonda kullanılması durumları, 'başa 0 gelmeme' kuralını farklı etkiler. Bu yüzden inceleme 3 ayrı durumda yapılır:
1. Son basamak 0 ise: Kalan {0,2,2,3,4,4}\{0,2,2,3,4,4\} ile 150 sayı yazılır.
2. Son basamak 2 ise: Kalan {0,0,2,3,4,4}\{0,0,2,3,4,4\} ile 120 sayı yazılır.
3. Son basamak 4 ise: Kalan {0,0,2,2,3,4}\{0,0,2,2,3,4\} ile 120 sayı yazılır.
Toplam: 150+120+120=390150 + 120 + 120 = 390 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kümeyi ve kısıtları analiz et.
Küme: {0,0,2,2,3,4,4}\{0, 0, 2, 2, 3, 4, 4\}. Toplam 7 eleman. Kısıtlar: 1) Sayı çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4). 2) Sayı 7 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz).
Çift sayı olması için birler basamağına çift rakam gelmelidir. Basamak analizi gereği en soldaki basamak 0 olamaz.
2
Durum 1: Son basamağın 0 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,2,2,3,4,4}\{0, 2, 2, 3, 4, 4\}. Toplam dizilim: 6!1!2!1!2!=180\frac{6!}{1!2!1!2!} = 180. Geçerli (başa 0 gelmeyen) durumlar: 180×56=150180 \times \frac{5}{6} = 150.
Kalan 6 rakamdan sadece 1 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı 16\frac{1}{6} olduğundan, geçerli durum oranı 56\frac{5}{6}'dır.
3
Durum 2: Son basamağın 2 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,0,2,3,4,4}\{0, 0, 2, 3, 4, 4\}. Toplam dizilim: 6!2!1!1!2!=180\frac{6!}{2!1!1!2!} = 180. Geçerli durumlar: 180×46=120180 \times \frac{4}{6} = 120.
Kalan 6 rakamdan 2 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı 26\frac{2}{6} olduğundan, geçerli durum oranı 46\frac{4}{6}'dır.
4
Durum 3: Son basamağın 4 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,0,2,2,3,4}\{0, 0, 2, 2, 3, 4\}. Durum 2 ile simetriktir. Geçerli durumlar: 120.
2 ve 4 rakamlarının adetleri ve yapıları bu problemde özdeş rol oynadığından hesaplama Durum 2 ile aynıdır.
5
Tüm durumları topla.
150+120+120=390150 + 120 + 120 = 390.
Ayrık durumların toplamı nihai sonucu verir.

Key Concept

İçinde 0 bulunan kümelerde tekrarlı permütasyon hesaplanırken, 0'ın başa gelme durumu ve sona gelme durumu (çift sayı kısıtı varsa) birbirini etkilediği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

Hints

1
Sayıların çift olması istendiği için son basamak sadece 0, 2 veya 4 olabilir. Bu durumları ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
Son basamağa 0 geldiğinde, elinizde kalan rakamlar ile son basamağa 2 geldiğinde elinizde kalan rakamların 'başa 0 gelme' riski farklıdır.
3
Sonu 0 olanlar için {0,2,2,3,4,4}\{0,2,2,3,4,4\} kümesini; sonu 2 olanlar için {0,0,2,3,4,4}\{0,0,2,3,4,4\} kümesini kullanın. Başa 0 gelmemesi için Tu¨m Durum×Sıfır Olmayan SayısıToplam Sayı\text{Tüm Durum} \times \frac{\text{Sıfır Olmayan Sayısı}}{\text{Toplam Sayı}} oranını kullanabilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumdan çıkarma yöntemi: Tüm 7 basamaklı sayıları bulun (450). Tek sayı olanları (sonu 3 ile bitenleri) hesaplayıp çıkarın. Sonu 3 ile bitenler için kalan küme {0,0,2,2,3,4,4}\{0,0,2,2,3,4,4\}'tür. Bu küme ile yazılabilecek 7 basamaklı sayı miktarı: 6!2!2!1!2!×46=60\frac{6!}{2!2!1!2!} \times \frac{4}{6} = 60. Sonuç: 450−60=390450 - 60 = 390.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →

Aşağıdaki şekilde bir şehrin birbirini dik kesen sokakları gösterilmiştir.

A noktasından hareket eden bir kişi, sadece sağa ve yukarı doğru hareket ederek CC noktasına uğramak koşuluyla BB noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

Show answer & explanation

Answer: 6060

Answer

A noktasından CC noktasına uğrayarak BB noktasına giden toplam farklı yol sayısı 6060 tanedir.
Doğru yanıt olan 60 seçeneği, A'dan C'ye giden 10 farklı yol ile C'den B'ye giden 6 farklı yolun çarpılmasıyla elde edilir. A-C arası için 3 sağ ve 2 yukarı hareketin dizilimi 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10, C-B arası için 2 sağ ve 2 yukarı hareketin dizilimi 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6 şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
AA noktasından CC noktasına giden yol sayısını hesapla.
5!3!×2!=10\frac{5!}{3! \times 2!} = 10
AA'dan CC'ye ulaşmak için 3 birim sağa (SS) ve 2 birim yukarı (YY) olmak üzere toplam 5 birim hareket edilmelidir. Bu hareketlerin sıralanışı tekrarlı permütasyon ile bulunur.
2
CC noktasından BB noktasına giden yol sayısını hesapla.
4!2!×2!=6\frac{4!}{2! \times 2!} = 6
CC'den BB'ye ulaşmak için 2 birim sağa (SS) ve 2 birim yukarı (YY) olmak üzere toplam 4 birim hareket edilmelidir.
3
Saymanın çarpma kuralını uygulayarak toplam yolu bul.
10×6=6010 \times 6 = 60
AA'dan CC'ye ve CC'den BB'ye gidiş olayları birbirine bağlı olduğundan, bulunan sonuçlar çarpılır.

Key Concept

Özdeş nesnelerin (veya hareketlerin) diziliminde tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.

Hints

1
Bu tür sorularda sağa adımları 'SS' ve yukarı adımları 'YY' harfleriyle simgeleyerek bir kelime oluşturuyormuş gibi düşünebilirsiniz.
2
AA noktasından CC noktasına ulaşmak için toplam kaç birim sağa ve kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini belirleyin ve bu adımları tekrarlı permütasyonla sıralayın.
3
A→CA \to C arası için 3S3S ve 2Y2Y (5!/(3!×2!)5! / (3! \times 2!)), C→BC \to B arası için ise 2S2S ve 2Y2Y (4!/(2!×2!)4! / (2! \times 2!)) hesaplamalarını yapıp çarpmalısınız.

Practice More

Eğer CC noktasına uğramama koşulu sorulsaydı, tüm durumlardan CC'ye uğranan durumları çıkarmanız gerekirdi.

Alternative Method

Grid üzerinde her köşeye ulaşılabilecek yol sayılarını toplayarak ilerleme (Pascal üçgeni mantığı) yöntemiyle de AA'dan CC'ye ve ardından CC'den BB'ye ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →

Bir kamu hastanesinin acil servisinde görevli bir doktor için bir haftalık (7 gün) çalışma çizelgesi hazırlanacaktır. Çizelgede içerikleri bakımından özdeş olan; 3 gün 'Poliklinik', 2 gün 'Nöbet' ve 2 gün 'İzin' görevi yer alacaktır.

İzin günlerinin ardışık (peş peşe) gelmemesi koşuluyla, bu bir haftalık çalışma çizelgesi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Çizelge 150 farklı şekilde oluşturulabilir.
Soruda özdeş elemanların sıralanması (tekrarlı permütasyon) ve 'yan yana gelmeme' koşulu vardır. Bu tür sorularda en pratik yöntem, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumunu çıkarmaktır.

1. Tüm Durumlar: 3 Poliklinik (P), 2 Nöbet (N), 2 İzin (İ) olmak üzere toplam 7 eleman vardır. 7!3!⋅2!⋅2!=210 \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210

2. İstenmeyen Durum (İzinler Yan Yana): İki izin gününü tek bir paket (İİ) gibi düşünürsek; elimizde P, P, P, N, N, (İİ) şeklinde 6 nesne olur. Bu nesnelerin sıralanışı: 6!3!⋅2!⋅1!=60 \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60

3. Sonuç: 210−60=150 210 - 60 = 150 farklı şekilde oluşturulabilir.

Step-by-Step Solution

1
Tüm durumların sayısını hesapla
7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2=504024=210 \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210
Herhangi bir koşul olmadan 7 günün sıralanması tekrarlı permütasyon formülü ile bulunur.
2
İstenmeyen durumların (İzin günlerinin yan yana olduğu) sayısını hesapla
İki izin gününü tek bir blok (XXXX) gibi düşünürsek; elimizde P,P,P,N,N,(XX)P, P, P, N, N, (XX) olmak üzere 6 nesne olur. 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=72012=60 \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = \frac{720}{12} = 60
'Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar' yöntemi kullanılacağı için, izinlerin bitişik olduğu durumlar hesaplanır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar
210−60=150 210 - 60 = 150
İzin günlerinin yan yana gelmemesi şartını sağlayan durum sayısı bu fark ile bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyeni Çıkarma Yöntemi
Question 11Question →

Bir kamu kurumunun arşiv düzenlemesi sırasında; içerikleri ve özellikleri bakımından özdeş olan 3 adet kırmızı, 2 adet mavi ve 2 adet sarı dosya, tek bir raf üzerine yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi şartıyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Dosyalar 60 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda verilen 'kırmızı dosyaların yan yana gelmemesi' şartı, tekrarlı permütasyon içinde 'boşluk yöntemi' (gap method) kullanılmasını gerektirir. Önce kısıtlama olmayan Mavi (2 adet) ve Sarı (2 adet) dosyalar dizilir. Bu 4 dosya 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6 farklı şekilde sıralanır. Bu dosyaların arasında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur (_ D _ D _ D _ D _). Özdeş olan 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluktan herhangi 3'üne yerleştirilmelidir. Kırmızı dosyalar özdeş olduğundan sıra önemli değildir, sadece yer seçimi yapılır: (53)=10\binom{5}{3} = 10. Sonuç çarpım kuralıyla 6×10=606 \times 10 = 60 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtlamasız olan diğer dosyaların (mavi ve sarı) kendi aralarındaki sıralanışını hesapla.
Mavi (2) ve Sarı (2) dosyalar için: 4!2!⋅2!=244=6\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 farklı dizilim.
Yan yana gelmemesi istenen nesneler haricindekiler önce dizilerek boşluklar oluşturulur.
2
Oluşan boşluk sayısını belirle ve kırmızı dosyaların yerleşebileceği yerleri seç.
4 dosya 5 boşluk oluşturur: _ D _ D _ D _ D _. 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluğa (53)\binom{5}{3} şeklinde yerleşir.
Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için yerleştirme işleminde sıralama (permütasyon) değil, seçme (kombinasyon) kullanılır.
3
Boşluk seçimi kombinasyonunu hesapla.
(53)=5⋅4⋅33⋅2⋅1=10\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10.
Matematiksel işlem.
4
Bulunan iki değeri çarpım kuralına göre çarp.
6×10=606 \times 10 = 60.
Olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpım kuralı ile bulunur.

Key Concept

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana gelmeme' şartı varsa, önce diğer nesneler dizilir, sonra oluşan boşluklara kısıtlı nesneler yerleştirilir (Ayraç/Boşluk Yöntemi).

Hints

1
Önce kısıtlama olmayan mavi ve sarı dosyaları dizerek başlayın.
2
Mavi ve sarı dosyalar dizildikten sonra, kırmızı dosyaları bunların arasında oluşan boşluklara yerleştirmeniz gerekir.
3
4 dosya dizildiğinde 5 boşluk oluşur. Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için, bu 5 boşluktan 3 tanesini seçmeniz (kombinasyon) yeterlidir.

Alternative Method

Toplam dizilim sayısı (210) üzerinden gitmek bu soruda çok zordur çünkü '2 kırmızı yan yana, 1 ayrı' durumlarını tek tek hesaplayıp çıkarmak gerekir. Ayraç yöntemi (boşluklara yerleştirme) her zaman daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →

Bir sporcu, 88 basamaklı bir merdiveni her bir adımda 11 basamak veya 22 basamak çıkarak tırmanmaktadır. Buna göre bu sporcu, merdivenin en üstüne toplam 66 adım atarak kaç farklı şekilde çıkabilir?

Show answer & explanation

Answer: 1515

Answer

Sporcu merdiveni 15 farklı şekilde çıkabilir.
Toplamda 8 basamağı 6 adımda çıkabilmek için sporcunun 2 adet '2 basamaklı' ve 4 adet '1 basamaklı' adım atması gerekir (2+2+1+1+1+1=8). Bu adımların kendi içindeki farklı dizilişleri, tekrarlı permütasyon formülü olan 6!2!×4!\frac{6!}{2! \times 4!} ile hesaplanır ve sonuç 15 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Atılan adım türlerinin sayılarını belirlemek için değişkenler tanımlanır.
xx: 22 basamaklı adım sayısı, yy: 11 basamaklı adım sayısı olsun.
Toplam adım ve toplam basamak sayılarını veren bir denklem sistemi kurmak için gereklidir.
2
Verilen bilgilere göre denklem sistemi kurulur ve çözülür.
x+y=6x + y = 6 (Toplam adım) ve 2x+y=82x + y = 8 (Toplam basamak). Bu sistem çözüldüğünde x=2x = 2 ve y=4y = 4 bulunur.
Sporcunun kaç adet 1'lik ve kaç adet 2'lik adım attığını belirlemek için.
3
Belirlenen adım türlerinin sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
{2,2,1,1,1,1}\{2, 2, 1, 1, 1, 1\} kümesinin sıralanış sayısı: 6!2!×4!=7202×24=15\frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15.
Adımların hangi sırada atıldığı her bir farklı çıkış yolunu temsil eder.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Sporcunun kaç adet 1 basamaklı, kaç adet 2 basamaklı adım attığını bularak işe başlayın.
2
Toplam adım sayısı 6 ve toplam basamak sayısı 8 ise; iki bilinmeyenli bir denklem kurabilirsiniz.
3
İki adet 2'lik ve dört adet 1'lik adımın sıralanışı için tekrarlı permütasyon formülünü (n!n1!×n2!\frac{n!}{n_1! \times n_2!}) kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu, adım sayısı kısıtlaması olmadan tüm olasılıkları soran (Fibonacci dizisi mantığı) bir soruyla karşılaştırarak çözün.

Alternative Method

Olası durumları listeleyerek de kontrol edebilirsiniz: (2,2,1,1,1,1) dizilişinde 2'lerin yerlerini seçmek C(6,2) = 15 farklı durum verir.
Estimated Time:1m 30s
Question 13Question →

1,1,2,2,2,31, 1, 2, 2, 2, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı tek doğal sayı oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

30
Verilen {1,1,2,2,2,3}\{1, 1, 2, 2, 2, 3\} kümesi ile 6 basamaklı tek sayılar yazılabilmesi için son basamağın tek rakam (1 veya 3) olması gerekir. İki durum incelenir: Son basamağın 1 olduğu durumlar için kalan rakamlar {1,2,2,2,3}\{1, 2, 2, 2, 3\} olup 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı sayı yazılır. Son basamağın 3 olduğu durumlar için kalan rakamlar {1,1,2,2,2}\{1, 1, 2, 2, 2\} olup 5!2!3!=10\frac{5!}{2!3!} = 10 farklı sayı yazılır. Toplamda 20+10=3020 + 10 = 30 farklı sayı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Koşulu belirle
Sayının tek olması için birler basamağına kümedeki tek rakamlar gelmelidir: {1,3}\{1, 3\}.
Tek doğal sayılar 1, 3, 5, 7, 9 ile biter.
2
1. Durum: Birler basamağının 1 olması
Geriye kalan rakamlar: {1,2,2,2,3}\{1, 2, 2, 2, 3\}. Tekrarlı permütasyon: 5!3!1!1!=1206=20\frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20.
Birler basamağına bir tane 1 sabitlenir, kalan 5 rakam (üç tane 2, bir tane 1, bir tane 3) sıralanır.
3
2. Durum: Birler basamağının 3 olması
Geriye kalan rakamlar: {1,1,2,2,2}\{1, 1, 2, 2, 2\}. Tekrarlı permütasyon: 5!2!3!=1202×6=10\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10.
Birler basamağına 3 sabitlenir, kalan 5 rakam (iki tane 1, üç tane 2) sıralanır.
4
Toplamı hesapla
20+10=3020 + 10 = 30
Farklı durumlar toplanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Durum Analizi
Question 14Question →

Bir kamu kurumunun lojistik biriminde; 33 tanesi kırtasiye malzemesi, 33 tanesi temizlik ürünü ve 33 tanesi elektronik cihaz içeren toplam 99 koli bir rafa yan yana dizilecektir. Aynı tür içeriğe sahip koliler kendi aralarında özdeş olduğuna göre, bu koliler raf üzerinde kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 1680

Answer

Koliler raf üzerinde 1680 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda belirtilen koliler kendi aralarında özdeş gruplar oluşturduğu için tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır. Toplam 99 kolinin dizilimi 9!9! iken, her biri 33 elemanlı olan 33 farklı grup için payda 3!⋅3!⋅3!3! \cdot 3! \cdot 3! olur. 9!3!⋅3!⋅3!=1680\frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} = 1680 hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nesne sayısını ve özdeş nesne gruplarının sayılarını belirleyin.
Toplam koli sayısı: n=9n = 9; Kırtasiye: n1=3n_1 = 3, Temizlik: n2=3n_2 = 3, Elektronik: n3=3n_3 = 3.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için her bir grubun eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurun.
Dizilim sayısı = n!n1!⋅n2!⋅n3!=9!3!⋅3!⋅3!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} = \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}
Özdeş nesnelerin yer değiştirmesi farklı bir dizilim oluşturmadığı için toplam sıralama sayısı özdeş grupların faktöriyellerine bölünür.
3
Faktöriyelleri açarak sadeleştirme yapın ve sonucu hesaplayın.
3628806⋅6⋅6=362880216=1680\frac{362880}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{362880}{216} = 1680
İşlemi sonuçlandırmak için sayısal değerler hesaplanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Kolilerin bir kısmı birbiriyle aynı (özdeş) olduğu için 'Tekrarlı Permütasyon' formülünü düşünmelisiniz.
2
Toplam 99 koli var. Bunların 3,33, 3 ve 33 tanesi aynı türden. Formülde paydaya bu sayıların faktöriyellerini yazmalısınız.
3
Hesaplamanız gereken ifade şudur: 9!3!⋅3!⋅3!\frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}. Faktöriyelleri sadeleştirerek işlemi kolaylaştırabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir soruyu, toplam koli sayısını değiştirerek veya gruplardan birini farklı sayıda alarak çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 15Question →

0,2,2,4,4,50, 2, 2, 4, 4, 5 rakamlarının tamamı kullanılarak 66 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 126

Answer

Sayıların çift olması ve 0'ın başa gelememesi kuralı dikkate alınarak toplam 126 farklı sayı yazılabilir.
Verilen rakamlar arasında 0 bulunduğu ve çift sayı istendiği için çözüm üç ayrı durumda incelenmelidir: son basamağın 0, 2 veya 4 olması. Son basamak 0 olduğunda 30 durum, 2 olduğunda 48 durum ve 4 olduğunda 48 durum oluşur. Bu durumların toplamı 126'dır.

Step-by-Step Solution

1
Sorudaki kısıtlamaları belirle.
Sayı 6 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz) ve çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4 olmalı). Verilen rakamlar: {0, 2, 2, 4, 4, 5}.
Çift sayı şartı son basamağı, 6 basamaklı olma şartı ilk basamağı etkiler. Bu yüzden durumları son basamağa göre ayırmalıyız.
2
1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla.
Son basamak 0 ise geriye {2, 2, 4, 4, 5} kalır. Tekrarlı permütasyon: 5!2!⋅2!=1204=30\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30.
0 sonda kullanıldığı için başa gelme riski yoktur. 2 ve 4 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir.
3
2. Durum: Son basamağın 2 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).
Tüm dizilimler (başa 0 gelebilir): 5!1!⋅2!=60\frac{5!}{1! \cdot 2!} = 60. Başa 0 gelenler (istenmeyen): 4!1!⋅2!=12\frac{4!}{1! \cdot 2!} = 12. Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.
Son basamak 2 ise geriye {0, 2, 4, 4, 5} kalır. 0'ın başa geldiği durumları tüm durumlardan çıkarmalıyız.
4
3. Durum: Son basamağın 4 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).
Tüm dizilimler: 5!2!⋅1!=60\frac{5!}{2! \cdot 1!} = 60. Başa 0 gelenler: 4!2!⋅1!=12\frac{4!}{2! \cdot 1!} = 12. Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.
Son basamak 4 ise geriye {0, 2, 2, 4, 5} kalır. İşlem mantığı 2. durumla aynıdır.
5
Tüm durumları topla.
30+48+48=12630 + 48 + 48 = 126.
Bu üç durum birbirinden ayrıdır (ayrık olaylar), bu yüzden toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Kısıtlı Sayma

Hints

1
Çift sayı olması için son basamağa hangi rakamların gelebileceğini belirleyin: 0, 2 veya 4.
2
Sıfırın hem sonda hem de başta olma durumu kafa karıştırabilir. Bu yüzden 'son basamağı 0 olanlar' ile 'son basamağı 0 olmayanlar' (2 veya 4) durumlarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
Son basamak 0 ise geriye kalan 5 rakamı (tekrarlıları bölerek) sıralayın. Son basamak 2 veya 4 ise, tüm durumlardan 0'ın başa geldiği durumları çıkarın.

Practice More

İçinde 0 bulunan tekrarlı permütasyon sorularında 'kaç tane tek sayı vardır' versiyonunu çözün.

Alternative Method

Tüm durumlar - (Tek sayı olanlar + 0 ile başlayanlar) yöntemiyle de gidilebilir ancak bu soruda 0 ile başlayanları ve tek sayıları ayrıştırmak daha karmaşık olabilir. En güvenli yöntem son basamağa göre durum incelemesidir.
Estimated Time:3m 0s
Question 16Question →

Bir belediyenin çevre düzenleme birimi, bir parkın yürüyüş yolu kenarına 88 adet aydınlatma direği dikecektir. Bu direklerin 33 tanesi beyaz, 33 tanesi yeşil ve 22 tanesi kırmızı renktedir. Aynı renkli direkler kendi aralarında özdeştir.

Buna göre, kırmızı renkli direklerin yan yana gelmediği kaç farklı dizilim yapılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 420

Answer

Kırmızı direklerin yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 420'dir.
Doğru çözüm için önce tüm dizilimler (560560) hesaplanır, ardından kırmızı direklerin tek bir blok olarak kabul edildiği yan yana olma durumları (140140) bu sayıdan çıkarılır. Sonuç olan 420420 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.
8!3!×3!×2!=403206×6×2=560 \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = \frac{40320}{6 \times 6 \times 2} = 560
Toplam 8 nesnenin 3'ü beyaz, 3'ü yeşil ve 2'si kırmızı olduğundan tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
2
Kırmızı direklerin yan yana olduğu durumları hesaplayın.
7!3!×3!=504036=140 \frac{7!}{3! \times 3!} = \frac{5040}{36} = 140
İki kırmızı direk tek bir nesne gibi düşünülürse toplam nesne sayısı 7 olur (1 kırmızı paket + 3 beyaz + 3 yeşil).
3
Kırmızıların yan yana gelmediği durum sayısını bulun.
560−140=420 560 - 140 = 420
İstenen durum sayısı, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum Mantığı

Hints

1
Bu tür sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' mantığını kullanmak çözümü kolaylaştırır.
2
Tüm durumlar 8!3!3!2!\frac{8!}{3!3!2!} ile hesaplanırken, kırmızıların yan yana olduğu durumlar iki kırmızıyı tek bir nesne sayarak 7!3!3!\frac{7!}{3!3!} ile hesaplanır.
3
Alternatif olarak 'Boşluk Yöntemi'ni deneyebilirsiniz: Önce beyaz ve yeşil direkleri dizin, ardından oluşan boşluklara kırmızıları yerleştirin.

Practice More

Benzer bir soruyu, bir kelimenin harfleri arasında belirli harflerin yan yana gelmemesi şartıyla çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Boşluk Yöntemi: Önce 3 Beyaz ve 3 Yeşil direk 6!3!3!=20\frac{6!}{3!3!} = 20 farklı şekilde dizilir. Bu 6 direğin arasında ve uçlarında toplam 7 boşluk oluşur. 2 kırmızı direk bu 7 boşluğa (72)=21\binom{7}{2} = 21 farklı şekilde yerleştirilebilir. Sonuç: 20×21=42020 \times 21 = 420.
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyaları kodlamak için 7 haneli numaralar oluşturulacaktır. Bu işlem için eldeki etiket stoğunda yalnızca aşağıdaki rakamlar kalmıştır:

* 2 adet 0
* 2 adet 2
* 3 adet 3

Bu rakamların tamamı kullanılarak oluşturulabilecek 7 basamaklı ve çift sayı olan kaç farklı kod numarası üretilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

İstenen şartları sağlayan 90 farklı kod numarası üretilebilir.
Verilen rakam kümesi {0, 0, 2, 2, 3, 3, 3} şeklindedir. Sayının çift olması için birler basamağı {0} veya {2} olmalıdır. Ayrıca 7 basamaklı olması için başa 0 gelemez. Bu iki şart birbirini etkilediği için (elde kalan 0 sayısı değiştiğinden) işlem iki durumda incelenmelidir. İlk durumda birler basamağına 0 sabitlenir, kalan {0, 2, 2, 3, 3, 3} rakamları dizilir ve başa 0 gelenler çıkarılır (50 adet). İkinci durumda birler basamağına 2 sabitlenir, kalan {0, 0, 2, 3, 3, 3} rakamları dizilir ve başa 0 gelenler çıkarılır (40 adet). Toplam 90 farklı sayı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rakam kümesini ve kısıtlamaları belirle.
Küme: {0, 0, 2, 2, 3, 3, 3}. Toplam 7 rakam. Kısıtlamalar: 7 basamaklı (başa 0 gelemez) ve çift sayı (sona 0 veya 2 gelmeli).
Tekrarlı permütasyon formülü kullanılacak ancak kısıtlamalar nedeniyle durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
2
1. Durum: Sayının son basamağının 0 olduğu durumu hesapla.
Son basamak 0 ise geriye kalanlar: {0, 2, 2, 3, 3, 3}. Toplam dizilim: 6!/(1!2!3!) = 60. Başa 0 gelme durumu çıkarılırsa: 60 - 10 = 50.
Geriye kalan 6 rakamdan 0 başa gelirse sayı 6 basamaklı olur, bu durumlar toplamdan çıkarılmalıdır.
3
2. Durum: Sayının son basamağının 2 olduğu durumu hesapla.
Son basamak 2 ise geriye kalanlar: {0, 0, 2, 3, 3, 3}. Toplam dizilim: 6!/(2!1!3!) = 60. Başa 0 gelme durumu çıkarılırsa: 60 - 20 = 40.
Burada geriye kalan kümede iki adet 0 olduğu için, başa 0 gelme olasılığı 1. duruma göre daha yüksektir (2/6).
4
Elde edilen sonuçları topla.
50 (sonu 0 olanlar) + 40 (sonu 2 olanlar) = 90.
Bu iki durum ayrık olaylardır, toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kısıtlamalı Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Sayının çift olması için son basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durumu ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
7 basamaklı bir sayı 0 ile başlayamaz. Hesapladığınız tüm dizilimlerden, 0 ile başlayan hatalı durumları çıkarmanız gerekir.
3
Son basamak 0 olduğunda geriye bir tane 0 kalır; ancak son basamak 2 olduğunda geriye iki tane 0 kalır. Bu yüzden 'sonu 2 olan' sayılar için başa 0 gelme ihtimali daha yüksektir ve sonuç farklı çıkacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla, '5 ile bölünebilen' sayılar sorulduğunda son basamağın 0 veya 5 olması durumlarını inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Tüm permütasyon hesabından gidip oranlama yapabilirsiniz. Örneğin sonu 2 olanlar için: Toplam 60 dizilim vardır. Geriye kalan 6 sayıdan 2 tanesi sıfırdır, yani 4/6'sı sıfır olmayan (geçerli) başlangıç yapar. 60 * (4/6) = 40.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →

Aşağıdaki şekilde, bir şehrin birbirini dik kesen sokaklarının planı verilmiştir. A noktasında bulunan bir kişi, sadece sağa veya yukarı yönde hareket ederek en kısa yoldan B noktasına gidecektir.

Buna göre, bu kişi A noktasından B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

A noktasından B noktasına giden toplam yol sayısı 35'tir.
En kısa yolu bulmak için toplamda 7 adım atılmalıdır. Bu adımların 4'ü sağa, 3'ü yukarı yöndedir. Bu durum, 4 tane 'S' ve 3 tane 'Y' harfinin yan yana kaç farklı şekilde dizilebileceği sorusuyla aynıdır. Tekrarlı permütasyon formülü olan 7!4!⋅3!\frac{7!}{4! \cdot 3!} işlemi yapıldığında 35 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Atılması gereken toplam adım sayısını ve yönleri belirleyin.
A'dan B'ye gitmek için 4 birim sağa (S) ve 3 birim yukarı (Y) olmak üzere toplam 4+3=74 + 3 = 7 adım atılmalıdır.
En kısa yoldan gitmek için sadece hedefe yaklaştıran sağ ve yukarı hamleler yapılmalıdır.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurun.
7!4!×3! \frac{7!}{4! \times 3!}
Aynı yöndeki adımlar (4 tane S ve 3 tane Y) kendi aralarında özdeş oldukları için sıralama tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
3
İşlemi sonuçlandırın.
7×6×5×4!4!×(3×2×1)=7×6×56=35 \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35
Pay ve paydadaki 4!4! ve 66 değerleri sadeleştiğinde sonuç 35 olur.

Key Concept

Özdeş nesnelerin (veya adımların) farklı dizilimlerinin sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon kullanılır.

Hints

1
A noktasından B noktasına varmak için toplam kaç birim sağa ve kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini sayın.
2
Sağa adımları 'S', yukarı adımları 'Y' harfi gibi düşünürseniz, soru SSSSYYY diziliminin kaç farklı şekilde yapılabileceğine dönüşür.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü hatırlayın: Toplam Adım!Sag˘a Adım!×Yukarı Adım!\frac{\text{Toplam Adım!}}{\text{Sağa Adım!} \times \text{Yukarı Adım!}}

Practice More

Eğer yol üzerinde uğranması zorunlu bir C noktası olsaydı, A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yolları ayrı ayrı hesaplayıp çarpmanız gerekirdi.

Alternative Method

Izgara üzerindeki her bir köşe noktasına ulaşım yollarını toplayarak ilerleyebilirsiniz. Sol alt köşeden (A) başlayarak her noktaya solundaki ve altındaki noktaların değerlerini toplayarak yazın (Pascal üçgeni mantığı).
Estimated Time:45s
Question 19Question →

Bir şehir plancısı, dik koordinat düzlemi üzerinde kare parsellere ayrılmış bir mahallede A(0,0)A(0,0) noktasından B(4,4)B(4,4) noktasına sadece sağa (pozitif xx yönü) veya yukarı (pozitif yy yönü) hareket ederek en kısa yoldan ulaşacaktır. Yol üzerindeki C(2,2)C(2,2) kavşağında devam eden altyapı çalışması nedeniyle bu noktadan geçiş yapılamamaktadır. **Buna göre, bu şehir plancısı AA noktasından BB noktasına kaç farklı rota kullanarak gidebilir?**

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Şehir plancısı, C noktasını kullanmadan toplam 34 farklı rota üzerinden A'dan B'ye ulaşabilir.
Doğru çözüm için önce kısıtlama olmaksızın tüm yolların sayısı (7070) hesaplanır. Ardından, geçilmesi yasak olan noktadan (C noktası) geçen tüm yollar (6×6=366 \times 6 = 36) belirlenir. Toplam yoldan bu yasaklı yollar çıkarıldığında (70−36=3470 - 36 = 34), şartı sağlayan rota sayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tüm durumların hesaplanması
8!4!×4!=70 \frac{8!}{4! \times 4!} = 70
A(0,0) noktasından B(4,4) noktasına gitmek için 4 sağ ve 4 yukarı olmak üzere toplam 8 adım atılmalıdır. Bu durum tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
2
A noktasından yasaklı C noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
A(0,0) noktasından C(2,2) noktasına ulaşmak için 2 sağ ve 2 yukarı adım gereklidir.
3
C noktasından B noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
C(2,2) noktasından B(4,4) noktasına ulaşmak için yine 2 sağ ve 2 yukarı adım atılmalıdır.
4
C noktasından geçen toplam yol sayısının bulunması
6×6=36 6 \times 6 = 36
Bağımsız olayların çarpımı prensibine göre A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yollar çarpılır.
5
Geçerli yolların hesaplanması
70−36=34 70 - 36 = 34
Tüm durumlardan, kısıtlamaya uymayan (C'den geçen) yollar çıkarılarak istenen sonuç elde edilir.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon ve yol problemlerinde kısıtlamalı (yasaklı nokta) durumların analizi.

Hints

1
Bu tür ızgara (grid) sorularında toplam yol sayısı, atılan toplam adımın tekrarlı permütasyonuna eşittir.
2
C noktasından geçmemek için, tüm durumlardan C noktasından geçen durumları çıkarmayı deneyin.
3
Önce A(0,0)A(0,0)'dan B(4,4)B(4,4)'e tüm yolları, sonra AA'dan CC'ye ve CC'den BB'ye olan yolları hesaplayıp birbirinden çıkarın.

Practice More

C noktasından geçmek 'zorunlu' olsaydı cevap ne olurdu? (Cevap 36 olacaktı).

Alternative Method

Izgara üzerindeki köşe noktalarına A'dan başlayarak 1 yazıp, her noktanın değerini solundaki ve altındaki komşu noktaların toplamı olacak şekilde toplayarak ilerleyebilirsiniz (Pascal üçgeni mantığı). Yasaklı C noktasının değerini 0 alarak B noktasına ulaştığınızda sonuç yine 34 çıkacaktır.
Estimated Time:1m 30s
Question 20Question →

0, 0, 1, 2, 2, 3 rakamlarının tamamı kullanılarak 6 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Verilen rakamlarla 120 farklı doğal sayı yazılabilir.
Verilen rakamlar kümesi {0,0,1,2,2,3}\{0, 0, 1, 2, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm dizilimlerin sayısı 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak bir doğal sayının basamak sayısı korunmak istendiğinde ilk basamağa 0 gelemez. 6 rakamdan 4 tanesi (1, 2, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla tüm dizilimlerin 46\frac{4}{6}'sı geçerli doğal sayılardır. Sonuç: 180⋅46=120180 \cdot \frac{4}{6} = 120 olur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam eleman sayısını ve tekrar eden elemanları belirle.
Toplam rakam sayısı n=6n=6. Tekrar edenler: iki adet 0, iki adet 2. (0,0,1,2,2,3)
Tekrarlı permütasyon formülünü doğru kurmak için n ve tekrar sayıları tespit edilmelidir.
2
Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!⋅1!⋅1!=7202⋅2=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup daha sonra kısıtlamayı uygulamak işlem kolaylığı sağlar.
3
Sıfırın başa gelememe kuralını uygula.
6 rakamdan 2 tanesi 0'dır, yani başa 0 gelme olasılığı 26\frac{2}{6}, gelmeme olasılığı 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir doğal sayı 0 ile başlayamaz. Bu yüzden toplam dizilimlerin sadece sıfırla başlamayan oranı geçerlidir.
4
Toplam sayıyı uygun oranla çarp.
180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120
Tüm durumların 23\frac{2}{3}'ü geçerli doğal sayılardır.

Key Concept

Sıfır içeren tekrarlı permütasyon sorularında, toplam permütasyon sayısı hesaplandıktan sonra, (Toplam Rakam - Sıfır Sayısı) / Toplam Rakam oranı ile çarpılarak geçerli durum sayısı bulunur.

Hints

1
Önce 0'ın başa gelme kuralını önemsemeden, bu 6 rakamla kaç farklı dizilim yapılabileceğini hesaplayın.
2
Bulduğunuz toplam sayıdan, 0 ile başlayanları çıkarmanız veya toplam sayıyı (Sıfır Olmayan Rakam Sayısı / Toplam Rakam Sayısı) oranıyla çarpmanız gerekir.
3
Tüm durumlar 180'dir. Rakamların 6 tanesinden 2 tanesi 0'dır, yani dizilimlerin 2/6'sı 0 ile başlar ve geçersizdir. Geriye kalan 4/6'lık kısım geçerlidir.

Practice More

İçinde 0 bulunan rakamlarla oluşturulabilecek 7 basamaklı çift sayıların sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Çıkarma Yöntemi: Tüm durumlar (180) - Sıfır ile başlayanlar. Sıfır ile başlayanlar için bir 0'ı başa sabitleyin, geriye {0,1,2,2,3} kalır. Bu 5 rakamın permütasyonu 5!/2! = 60'tır. Sonuç: 180 - 60 = 120.
Estimated Time:2m 30s
Page 1 / 2Next
Tekrarlı Permütasyon Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin