Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

İç açıları, ortak farkı 10∘10^{\circ} olan bir aritmetik dizi oluşturan konveks bir çokgenin en küçük iç açısı 100∘100^{\circ} dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. A
    7
  2. 8Answer
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

Çokgenin kenar sayısı 8'dir.
n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile hesaplanır. Aynı zamanda açılar aritmetik dizi oluşturduğundan, toplam aritmetik dizi formülüyle de yazılabilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde n2−17n+72=0n^2 - 17n + 72 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri n=8n=8 ve n=9n=9'dur. Ancak soruda çokgenin 'konveks' olduğu belirtilmiştir. Konveks bir çokgenin tüm iç açıları 180∘180^{\circ} den küçük olmalıdır. n=9n=9 için en büyük açı 100∘+(9−1)10∘=180∘100^{\circ} + (9-1)10^{\circ} = 180^{\circ} olur ki bu konvekslik tanımına uymaz. n=8n=8 için en büyük açı 170∘170^{\circ} olduğundan tek geçerli cevap 8'dir.

Step-by-Step Solution

1
Çokgenin iç açılar toplamı formülünü yaz.
S=(n−2)×180S = (n-2) \times 180
n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı her zaman (n-2).180 derecedir.
2
Aritmetik dizi toplam formülünü kullanarak iç açılar toplamını ifade et.
S = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2(100) + (n-1)10]
Açılar aritmetik dizi oluşturduğu için, ilk terim a1=100 ve ortak fark d=10 kullanılarak toplam bulunur.
3
İki toplam ifadesini eşitle ve denklemi düzenle.
(n-2)180 = \frac{n}{2} (200 + 10n - 10) \Rightarrow 360(n-2) = n(190 + 10n)
Aynı çokgenin iç açılar toplamı iki farklı yöntemle hesaplansa da birbirine eşit olmalıdır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çöz.
360n - 720 = 190n + 10n^2 \Rightarrow 10n^2 - 170n + 720 = 0 \Rightarrow n^2 - 17n + 72 = 0
Denklem sadeleştirilerek kökleri bulunabilir hale getirilir.
5
Denklemin köklerini bul ve konvekslik şartını kontrol et.
(n-8)(n-9) = 0 ise n=8 veya n=9. n=9 için en büyük açı 180° olur (konveks olmaz), bu yüzden n=8.
Konveks bir çokgenin hiçbir iç açısı 180° veya daha büyük olamaz. n=9 durumunda a9 = 100 + 8(10) = 180° olduğundan çözüm geçersizdir.

Key Concept

Çokgenlerde Açı Özellikleri ve Konvekslik Şartı

Hints

1
Bir çokgenin iç açılar toplamı formülü (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ} dir.
2
İç açılar toplamını aynı zamanda aritmetik dizi toplam formülü n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ile ifade edip, diğer formüle eşitleyin.
3
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki kökü olacaktır (8 ve 9). Konveks çokgenlerde bir iç açının 180∘180^{\circ} olamayacağını hatırlayarak doğru kökü seçin.

Practice More

İç açıları toplamı yerine dış açıları aritmetik dizi oluşturan çokgenlerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternative Method

Dış açılardan gidilebilir: İç açılar 10∘10^{\circ} artıyorsa, dış açılar 10∘10^{\circ} azalan bir aritmetik dizi oluşturur. En büyük dış açı 180−100=80∘180-100=80^{\circ} olur. Dış açılar toplamı 360∘360^{\circ} dir. 360=n2[2(80)+(n−1)(−10)]360 = \frac{n}{2}[2(80) + (n-1)(-10)] denklemi çözülerek de nn bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic