Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, eksenler ve 2x+y−8=02x + y - 8 = 0 doğrusu ile sınırlanan üçgensel bölge, y=ky = k doğrusu ile alanları eşit iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre kk gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 8−428 - 4\sqrt{2}Answer
  2. B
    44
  3. C
    424\sqrt{2}
  4. D
    8−228 - 2\sqrt{2}
  5. E
    22

Answer

8−428 - 4\sqrt{2} değeri, bölgeyi iki eşit alana ayıran yatay doğrunun denklemidir.
Üçgenin tepe noktasından çizilen paralel bir doğru ile ayrılan küçük üçgenin alanı tüm alanın yarısı ise, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olur. Büyük üçgenin yüksekliği 8 birim olduğundan, küçük üçgenin yüksekliği 424\sqrt{2} birimdir. Doğrunun yy eksenindeki yeri ise tepe noktasından bu yükseklik kadar aşağıdadır: 8−428 - 4\sqrt{2}.

Step-by-Step Solution

1
Eksenleri kestiği noktaları bul
x=0x=0 için y=8y=8, y=0y=0 için x=4x=4. Büyük üçgenin yüksekliği h=8h=8, tabanı 44.
Üçgenin köşe koordinatlarını ve boyutlarını belirlemek için.
2
Benzerlik oranını kur
Üstteki küçük üçgenin alanı, büyük üçgenin alanının yarısıdır (1/2). Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir: (kbenzerlik)2=12(k_{benzerlik})^2 = \frac{1}{2}.
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğundan oluşan küçük üçgen büyük üçgenle benzerdir.
3
Küçük üçgenin yüksekliğini bul
kbenzerlik=12k_{benzerlik} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Küçük yükseklik h′=8⋅12=42h' = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.
Benzerlik oranını kullanarak kesilen üst parçanın yüksekliğini hesaplamak için.
4
Doğrunun y-koordinatını bul
Tepe noktası y=8y=8 olduğundan, doğrunun yeri k=8−h′=8−42k = 8 - h' = 8 - 4\sqrt{2}.
Bulunan yükseklik tepe noktasından aşağıya doğru olan mesafedir, koordinat düzlemindeki yy değeri istenmektedir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Hints

1
Eksenleri kestiği noktaları bularak üçgenin tepe noktasının yüksekliğini (yy eksenindeki değeri) belirleyiniz.
2
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğu için oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
3
Alanlar oranı 12\frac{1}{2} olduğuna göre, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olmalıdır. Büyük yükseklik 8 birimdir.

Practice More

Benzer bir soruyu y=mxy=mx doğrusu (orijinden geçen) ile alanı bölme şeklinde çözünüz.

Alternative Method

İntegral kullanarak veya yamuk alanını hesaplayarak da çözülebilir: ∫04(8−2x)dx=16\int_{0}^{4} (8-2x) dx = 16. ∫xk4(8−2x−k)dx\int_{x_k}^{4} (8-2x - k) dx yerine üst üçgen alanı = 12⋅Taban⋅(8−k)=8\frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot (8-k) = 8.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic