Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+3a2=c3+1\frac{a^2 \cdot b + 3a}{2} = c^3 + 1


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
  1. A
    a çift sayıdır
  2. B
    b tek sayıdır
  3. C
    a . b çift sayıdır
  4. D
    c çift sayıdır
  5. a . (b + 1) çift sayıdırAnswer

Answer

a . (b + 1) ifadesi kesinlikle çift sayıdır.
Verilen eşitlikten a(ab+3)a(ab+3) ifadesinin çift sayı olduğu anlaşılır. Bu durumda iki olasılık doğar: Ya aa çift sayıdır ya da aa tek sayı ise bb de tek sayı olmak zorundadır. Doğru seçenek olan ifade, a(b+1)a(b+1) veya a+aba + ab şeklinde yazılabilir. aa çift ise sonuç çifttir. aa tek ise bb de tek olduğundan (b+1)(b+1) çift olur ve çarpım yine çift olur. Her iki durumda da sonuç değişmez.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki kesirli ifadeyi düzenle
a2⋅b+3a=2(c3+1)a^2 \cdot b + 3a = 2(c^3 + 1)
Bölüm durumundaki 2'yi karşıya atarak ifadenin sağ tarafının çift sayı olduğunu belirlemek için.
2
Eşitliğin sağ ve sol tarafının tek-çift durumunu incele
Sağ taraf 2(c3+1)2(c^3 + 1) olduğundan daima ÇİFTtir. Dolayısıyla sol taraf a(ab+3)a(ab + 3) de ÇİFT olmalıdır.
Eşitliğin sağlanması için her iki tarafın paritesinin (tek/çift) aynı olması gerekir.
3
Sol tarafın çarpanlarını analiz ederek olası durumları belirle
a(ab+3)a(ab + 3) çarpımı çifttir. İki durum vardır:
1. Durum: aa ÇİFTtir. (Bu durumda bb tek veya çift olabilir)
2. Durum: aa TEKtir. O zaman (ab+3)(ab+3) çift olmalıdır. ⇒ab\Rightarrow ab tek olmalıdır ⇒a\Rightarrow a ve bb ikisi de TEK olmalıdır.
Çarpım sonucunun çift olması için çarpanlardan en az biri çift olmalıdır.
4
Seçenekleri bu durumlara göre test et
Geçerli senaryolar: (aa=Çift, bb=Herhangi) veya (aa=Tek, bb=Tek).
Bu iki senaryoda da a(b+1)a(b+1) ifadesi incelenirse:
- aa çift ise: Çift ×\times (...) = ÇİFT
- aa tek ise (bb de tektir): Tek ×\times (Tek+1) = Tek ×\times Çift = ÇİFT
Kesinlikle doğru olan seçenek her iki geçerli senaryoyu da sağlamalıdır.

Key Concept

Teklik ve çiftlik analizinde, bir çarpım sonucu çift ise çarpanlardan en az biri çifttir; tek ise tüm çarpanlar tektir. Kesinlik sorularında tüm olası durumlar test edilmelidir.

Hints

1
İçler dışlar çarpımı yaparak paydadaki 2'den kurtulun ve eşitliğin sağ tarafının tek mi çift mi olduğunu belirleyin.
2
Sol tarafı paranteze alarak a(ab+3)a(ab+3) şeklinde yazın. Çarpımın sonucu çift ise, çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
3
İki ihtimal vardır: aa çift olabilir, veya aa tek ise bb mutlaka tek olmalıdır. Seçenekleri bu iki duruma göre test edin.

Practice More

Tek ve çift sayılarla ilgili 'Daima Doğrudur' sorularında üslü ifadelerin taban paritesini nasıl etkilediği üzerine pratik yapın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: c=0c=0 için sağ taraf 2 olur. a(ab+3)=2a(ab+3)=2 eşitliğini sağlayan tam sayıları deneyerek (örneğin a=1,b=−1a=1, b=-1 veya a=2,b=−1a=2, b=-1) seçenekleri eleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic