Examkin

Question

Difficulty: MediumAralarında Asal Sayılar

aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.

a+60b=12 a + \frac{60}{b} = 12

olduğuna göre, bb'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    47
  2. 107Answer
  3. C
    113
  4. D
    117
  5. E
    137

Answer

b'nin alabileceği değerler toplamı 107'dir.
Verilen denklemde aa'nın pozitif tam sayı olması için bb'nin 60'ı bölmesi ve b>5b > 5 olması gerekir. Olası bb değerleri denenip, aa ile aralarında asallık şartı kontrol edildiğinde sadece 12, 15, 20 ve 60 değerlerinin bu şartı sağladığı görülür. Bu değerlerin toplamı 107'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi aa'yı yalnız bırakacak şekilde düzenle.
a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}
aa ve bb'nin tamsayı olma şartını sağlamak için bb'nin özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa'nın pozitif tam sayı olması şartını sağlayan bb değerlerini belirle.
a>0⇒12−60b>0⇒60b<12⇒b>5a > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{b} > 0 \Rightarrow \frac{60}{b} < 12 \Rightarrow b > 5. Ayrıca bb, 60'ın bir böleni olmalıdır.
aa pozitif bir tam sayı olduğu için sonuç 0 veya negatif olamaz ve kesirli ifade tam sayı çıkmalıdır.
3
5'ten büyük ve 60'ı tam bölen sayıları listele.
b∈{6,10,12,15,20,30,60}b \in \{6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}
Olası tüm aday değerleri belirlemek için.
4
Her bb değeri için aa'yı bul ve aralarında asal olup olmadıklarını kontrol et.
- b=6⇒a=2b=6 \Rightarrow a=2. (2,6)(2,6) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=10⇒a=6b=10 \Rightarrow a=6. (6,10)(6,10) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=12⇒a=7b=12 \Rightarrow a=7. (7,12)(7,12) aralarında asal. (ALINDI)
- b=15⇒a=8b=15 \Rightarrow a=8. (8,15)(8,15) aralarında asal. (ALINDI)
- b=20⇒a=9b=20 \Rightarrow a=9. (9,20)(9,20) aralarında asal. (ALINDI)
- b=30⇒a=10b=30 \Rightarrow a=10. (10,30)(10,30) ortak bölen 10. (ELENDİ)
- b=60⇒a=11b=60 \Rightarrow a=11. (11,60)(11,60) aralarında asal. (ALINDI)
Sorunun en önemli kısıtı olan 'aralarında asal olma' şartını sağlamayan kökleri elemek için.
5
Şartı sağlayan bb değerlerini topla.
12+15+20+60=10712 + 15 + 20 + 60 = 107
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif tam sayı bölenlerinin olmaması gerekir.

Hints

1
Denklemde aa'yı yalnız bırakın: a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}. aa'nın pozitif tam sayı olması için bb hangi değerleri alabilir?
2
bb sayısı 60'ı tam bölmeli ve sonucun pozitif çıkması için b>5b > 5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan bb tamsayılarını listeleyin.
3
Bulduğunuz her bb değeri için karşılık gelen aa değerini hesaplayın ve (a,b)(a, b) ikilisinin 1'den başka ortak böleni olup olmadığına (aralarında asal olup olmadıklarına) bakın.

Practice More

Benzer mantıkla, x⋅y=60x \cdot y = 60 ve x,yx, y aralarında asal ise x+yx+y'nin alabileceği değerleri soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic