Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Analitik düzlemde A(1,4)A(1, 4) noktasının y=2x−3y = 2x - 3 doğrusuna göre simetriği olan nokta B(a,b)B(a, b) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

Simetrik nokta B(5, 2) bulunur ve koordinatları toplamı 7'dir.
Doğru cevap, noktanın doğruya göre simetriği alınırken izlenen 'dik doğru denklemi kurma', 'kesişim noktasını bulma' ve 'orta nokta formülünü tersten uygulama' adımlarının eksiksiz yapılmasıyla 7 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimi bulunur ve simetri ekseni olan dik doğrunun eğimi belirlenir.
m1=2m_1 = 2 olduğundan, dik doğrunun eğimi m2=−1/2m_2 = -1/2 olur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
2
A(1, 4) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi yazılır.
y−4=−12(x−1)⇒2y−8=−x+1⇒x+2y−9=0y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow 2y - 8 = -x + 1 \Rightarrow x + 2y - 9 = 0.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi: y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1).
3
İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta M) bulunur.
y=2x−3y = 2x - 3 ile x+2y=9x + 2y = 9 ortak çözülürse x+2(2x−3)=9⇒5x=15⇒x=3x + 2(2x - 3) = 9 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3. Buradan y=3y = 3 bulunur. M(3, 3).
Simetrik iki noktanın tam ortasındaki nokta, simetri ekseni (ayna) görevi gören doğru üzerindedir.
4
Orta nokta formülü kullanılarak B(a, b) noktasının koordinatları hesaplanır.
1+a2=3⇒a=5\frac{1 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 5 ve 4+b2=3⇒b=2\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2. B(5, 2).
M noktası, A ve B noktalarının orta noktasıdır.
5
Koordinatların toplamı hesaplanır.
a+b=5+2=7a + b = 5 + 2 = 7.
Soruda istenen sonuç.

Key Concept

Analitik geometride bir noktanın bir doğruya göre simetriği, o noktadan doğruya inilen dikmenin doğruyu kestiği noktaya eşit uzaklıktaki diğer uç noktadır.

Hints

1
Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce o noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısın.
2
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Verilen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, dik doğrunun eğimi -1/2 olacaktır.
3
İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta) bulunduktan sonra, A noktası ile bu orta nokta arasındaki mesafeyi diğer tarafa taşıyarak B noktasını bulabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruyu noktanın noktaya göre simetriği üzerinden çözerek aradaki farkı pekiştirin.

Alternative Method

Özel bir formül kullanmadan, şıklardan giderek bulunan noktanın orta noktasının doğru denklemini sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (ancak bu yöntem toplam sorulduğu için zordur).
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic