Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

ABC ve CBA üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC−CBA=594ABC - CBA = 594

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, A>B>CA > B > C koşulunu sağlayan kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    18
  5. E
    20

Answer

15
Verilen ABC−CBA=594ABC - CBA = 594 eşitliği çözümlendiğinde A−C=6A - C = 6 bulunur. CBA üç basamaklı olduğundan C≠0C \neq 0 şartı vardır. Bu şartı sağlayan (A, C) ikilileri (9,3), (8,2) ve (7,1)'dir. Her ikili için A>B>CA > B > C eşitsizliğini sağlayan tam 5 adet B değeri bulunur. 3 farklı durum için toplam 3×5=153 \times 5 = 15 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği çözümleyerek (basamak analizi yaparak) sadeleştirin.
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=594(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594 ⇒99A−99C=594\Rightarrow 99A - 99C = 594 ⇒99(A−C)=594\Rightarrow 99(A - C) = 594
Sayıları basamak değerlerine ayırmak, rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmayı sağlar.
2
A ve C arasındaki farkı bulun.
A−C=59499=6A - C = \frac{594}{99} = 6
Bu fark, A ve C rakamlarının alabileceği değerleri kısıtlar.
3
CBA sayısının üç basamaklı olması (C ≠ 0) koşulunu gözeterek uygun (A, C) ikililerini belirleyin.
Olası (A, C) çiftleri: (9, 3), (8, 2) ve (7, 1). Not: (6, 0) çifti C=0 olduğu için elenir.
Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 0 olamaz.
4
Her çift için A>B>CA > B > C koşuluna uyan B rakamlarını sayın.
1. Durum (9, 3): 9>B>39 > B > 3 ise B = {4, 5, 6, 7, 8} (5 değer)
2. Durum (8, 2): 8>B>28 > B > 2 ise B = {3, 4, 5, 6, 7} (5 değer)
3. Durum (7, 1): 7>B>17 > B > 1 ise B = {2, 3, 4, 5, 6} (5 değer)
B rakamı A ile C arasında değer almalıdır.
5
Tüm olası durumları toplayın.
Toplam = 5 + 5 + 5 = 15 farklı ABC sayısı vardır.
Ayrık durumların toplam sayısı çözüm kümesini verir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
Önce ABCABC ve CBACBA sayılarını 100A+10B+C100A + 10B + C ve 100C+10B+A100C + 10B + A şeklinde çözümleyerek fark işlemini yapınız.
2
Çıkarma işlemi sonucunda 99(A−C)=59499(A - C) = 594 eşitliğini bulacaksınız. Buradan AA ve CC arasındaki farkı belirleyiniz.
3
A−C=6A - C = 6 olacaktır. CBACBA üç basamaklı olduğu için CC sıfır olamaz. Bu kurala uyan (A,C)(A,C) ikililerini yazıp, her biri için aradaki BB rakamlarını sayınız.

Alternative Method

Pratik Yol: A−C=kA-C=k olduğunda, A>B>CA>B>C koşulunu sağlayan BB sayısı her zaman k−1k-1 tanedir. Geçerli (A,C)(A,C) çifti sayısını bulup (k−1)(k-1) ile çarpabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic