Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

A=R−{3}A = \mathbb{R} - \{3\} ve B=R−{2}B = \mathbb{R} - \{2\} olmak üzere, h:A→Bh: A \rightarrow B fonksiyonu,
h(x)=ax+4x−bh(x) = \frac{ax + 4}{x - b}
şeklinde tanımlanmış olup birebir ve örtendir.
f(a+b)+g(2023)=9f(a+b) + g(2023) = 9

olduğuna göre, (h∘g)(5)(h \circ g)(5) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 12Answer
  5. E
    14

Answer

Doğru cevap 12'dir.
Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin özellikleri kullanılarak bilinmeyenler bulunmalıdır. h(x)=ax+4x−bh(x) = \frac{ax+4}{x-b} fonksiyonu için tanım kümesinden çıkarılan eleman paydayı sıfır yapan değerdir (x=bx=b), değer kümesinden çıkarılan eleman ise a1=a\frac{a}{1}=a değeridir. Kümeler R−{3}\mathbb{R}-\{3\} ve R−{2}\mathbb{R}-\{2\} verildiğinden b=3b=3 ve a=2a=2 bulunur. ff birim fonksiyon olduğundan f(a+b)=f(5)=5f(a+b)=f(5)=5 olur. Denklemde yerine yazılırsa 5+g(2023)=95 + g(2023) = 9 işleminden g(2023)=4g(2023)=4 bulunur. gg sabit fonksiyon olduğundan her xx için g(x)=4g(x)=4'tür. İstenen (h∘g)(5)(h \circ g)(5) değeri h(g(5))=h(4)h(g(5))=h(4) olarak hesaplanır. h(4)=2(4)+44−3=12h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = 12 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
h fonksiyonunun tanım ve değer kümelerinden a ve b sabitlerini belirle.
b=3b=3 ve a=2a=2
Tanım kümesi R−{3}\mathbb{R}-\{3\} olduğundan paydayı sıfır yapan değer x=3x=3'tür (3−b=0⇒b=33-b=0 \Rightarrow b=3). Değer kümesi R−{2}\mathbb{R}-\{2\} olduğundan yatay asimptot y=a/1=2y=a/1=2'dir (a=2a=2).
2
Verilen denklemde a ve b değerlerini yerine yazarak g fonksiyonunun sabit değerini bul.
g(x)=4g(x) = 4
f(a+b)+g(2023)=9⇒f(5)+g(2023)=9f(a+b) + g(2023) = 9 \Rightarrow f(5) + g(2023) = 9. f birim fonksiyon olduğundan f(5)=5f(5)=5. 5+g(2023)=9⇒g(2023)=45 + g(2023) = 9 \Rightarrow g(2023)=4. g sabit fonksiyon olduğundan her x için g(x)=4g(x)=4.
3
Bileşke fonksiyon değerini hesapla.
12
(h∘g)(5)=h(g(5))=h(4)(h \circ g)(5) = h(g(5)) = h(4). Fonksiyonda yerine koyarsak: h(4)=2(4)+44−3=121=12h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = \frac{12}{1} = 12.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değerin, değer kümesinden ise asimptot değerinin çıkarılması gerekir.

Hints

1
Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılan sayı paydayı sıfır yapar.
2
Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda değer kümesinden çıkarılan sayı, x'lerin katsayıları oranıdır (yatay asimptot).
3
a=2 ve b=3 bulduktan sonra, f'nin birim (içi dışı bir) ve g'nin sabit (her zaman aynı değer) olduğunu unutmayınız.

Alternative Method

Tersi alınan fonksiyon yöntemiyle de çözülebilir: h(x)h(x) birebir ve örten ise tersi de fonksiyondur. h−1(x)h^{-1}(x) bulunduğunda tanım kümesindeki kısıtlama a'yı, değer kümesindeki kısıtlama b'yi verir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic