Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor.

AA'dan BB'ye tanımlı ff fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

Buna göre, f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olduğu kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    18
  2. 24Answer
  3. C
    36
  4. D
    96
  5. E
    120

Answer

Şartı sağlayan 24 farklı birebir fonksiyon vardır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği her eleman farklı bir yere gitmelidir. Çarpımın tek olması için f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin her ikisi de tek sayı olmalıdır (BB kümesindeki {1,3,5}\{1, 3, 5\} elemanlarından seçilmelidir). Bu iki değer için 3×2=63 \times 2 = 6 farklı durum vardır. Geriye kalan f(3)f(3) değeri için, BB kümesindeki kullanılmayan 4 elemandan biri seçilebilir. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Step-by-Step Solution

1
Çarpım koşulunu analiz et
f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1)f(1) hem de f(2)f(2) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı yalnızca her iki çarpan da tek ise tek sayıdır.
2
Görüntü kümesindeki uygun elemanları belirle
B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesindeki tek sayılar {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesidir (3 eleman).
Fonksiyonun alabileceği tek sayı değerleri bunlardır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için seçim sayısını hesapla
ff birebir olduğu için f(1)f(1) ve f(2)f(2) farklı olmalıdır. 3 tek sayıdan 2'si seçilip sıralanır: P(3,2)=3×2=6P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 farklı seçim.
Permütasyon kuralı uygulanır.
4
f(3)f(3) için kalan seçenekleri hesapla
BB kümesinde toplam 6 eleman vardır. 2 tanesi f(1)f(1) ve f(2)f(2) için kullanıldı. Geriye 6−2=46 - 2 = 4 eleman kalır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği, kullanılan elemanlar tekrar kullanılamaz.
5
Toplam fonksiyon sayısını bul
6×4=246 \times 4 = 24 fonksiyon.
Çarpma kuralı (saymanın temel ilkesi) uygulanır.

Key Concept

Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir. Belirli koşullar (tek/çift gibi) alt kümeler üzerinde permütasyon hesabı gerektirir.

Hints

1
İki sayının çarpımının tek sayı olması için, bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
BB kümesindeki tek sayıları belirleyin ve f(1)f(1) ile f(2)f(2)'nin sadece bu değerleri alabileceğini düşünün. Fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklı olmalıdır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için BB'deki 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (3×23 \times 2). Ardından f(3)f(3) için BB'de kalan (tek veya çift fark etmez) 4 elemandan birini seçin.

Practice More

Benzer kümelerle, f(1)<f(2)f(1) < f(2) şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğunu sorarak sıralama mantığını pekiştirin.

Alternative Method

Tüm durumlar üzerinden gitmek yerine kombinasyon ile düşünün: f(1)f(1) ve f(2)f(2) için 3 tek sayıdan 2'si seçilir (C(3,2)=3C(3,2)=3). Bu iki sayı kendi arasında yer değiştirir (2!2!). f(3)f(3) için kalan 4 sayıdan 1'i seçilir (C(4,1)=4C(4,1)=4). Sonuç: 3×2×4=243 \times 2 \times 4 = 24.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic