Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Analitik düzlemde (x−2)2+(y+1)2=4(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 denklemi ile verilen çembere teğet olan 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 doğrusu için, kk gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. -20Answer
  2. B
    -10
  3. C
    0
  4. D
    10
  5. E
    20

Answer

k değerlerinin toplamı -20'dir.
Çemberin merkezi M(2,−1)M(2, -1) ve yarıçapı r=2r=2'dir. Teğet doğrusu 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 olduğuna göre, merkezin bu doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır. Uzaklık formülünden ∣10+k∣/5=2|10+k|/5 = 2 elde edilir. Buradan ∣10+k∣=10|10+k|=10 bulunur. Bu eşitliği sağlayan değerler k=0k=0 ve k=−20k=-20'dir. Toplamları -20 eder.

Step-by-Step Solution

1
Çember denklemini analiz et.
Merkez M(2,−1)M(2, -1), Yarıçap r=2r = 2.
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 formundaki denklemden merkez (a,b)(a,b) ve yarıçap rr bulunur.
2
Teğet olma şartını uygula.
Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır: d=rd = r.
Bir doğrunun çembere teğet olması için, çember merkezinin doğruya olan dik uzaklığı yarıçap kadar olmalıdır.
3
Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullan.
∣3(2)−4(−1)+k∣32+(−4)2=2\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 doğrusuna (x0,y0)(x_0, y_0) noktasının uzaklığı d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Denklemi düzenle ve mutlak değeri çöz.
∣6+4+k∣5=2⇒∣10+k∣=10\frac{|6 + 4 + k|}{5} = 2 \Rightarrow |10 + k| = 10
Paydada 25=5\sqrt{25}=5 bulunur, içler dışlar çarpımı yapılır.
5
Olası k değerlerini bul ve topla.
10+k=10⇒k1=010 + k = 10 \Rightarrow k_1 = 0 veya 10+k=−10⇒k2=−2010 + k = -10 \Rightarrow k_2 = -20. Toplam: 0+(−20)=−200 + (-20) = -20.
∣x∣=a|x| = a ise x=ax = a veya x=−ax = -a olur.

Key Concept

Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Çember Teğeti

Hints

1
Önce verilen çember denklemini kullanarak çemberin merkez koordinatlarını ve yarıçapını belirleyin.
2
Bir doğrunun bir çembere teğet olması için, çemberin merkezinin bu doğruya olan uzaklığının neye eşit olması gerektiğini hatırlayın.
3
Noktanın doğruya uzaklığı formülü d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}'dir. Bu formülde d=rd=r eşitliğini kurarak kk'yi bulun.

Practice More

Aynı çembere dıştan teğet olan, eğimi bilinen doğruların denklemlerini bulma üzerine bir soru çözün.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic