Kümeler ve Fonksiyonlar

Question 281Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f$ fonksiyonunun sabit fonksiyon, $g$ fonksiyonunun ise birim fonksiyon olduğu bilinmektedir.

f(x) = (a - 2)x + b + 3

g(2x - 1) = (c + 1)x + d - 4

eşitlikleri verilmiştir.

f(2026) + g(7) = 15

olduğuna göre, $a + b + c + d$ toplamı kaçtır?

12

14

16

18

20

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Doğru cevap 16'dır.

Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin tanımları kullanılarak bilinmeyen katsayılar bulunur. Sabit fonksiyonun değişken katsayısı sıfırdır (

a-2=0

). Birim fonksiyonun kuralı gereği

g(2x-1) = 2x-1

olmalıdır, bu da katsayıların eşitlenmesini sağlar (

c+1=2, d-4=-1

). Son olarak

f

ve

g

değerleri yerine yazılarak

b

bulunur ve tüm değerler toplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sabit fonksiyonun özelliğini kullanarak a değerini bulma

a = 2

f(x)

sabit fonksiyon ise

x

'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.

a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2

. Bu durumda

f(x) = b + 3

olur.

2

Birim fonksiyonun özelliğini kullanarak c ve d değerlerini bulma

c = 1

ve

d = 3

g

birim fonksiyon ise içi dışına eşittir, yani

g(2x - 1) = 2x - 1

olmalıdır. Verilen denklem

(c + 1)x + d - 4

ile eşleştirildiğinde:

x

'in katsayısı:

c + 1 = 2 \Rightarrow c = 1

Sabit terim:

d - 4 = -1 \Rightarrow d = 3

bulunur.

3

Verilen eşitliği kullanarak b değerini bulma

b = 5

f

sabit fonksiyon olduğundan

f(2026) = b + 3

tür.

g

birim fonksiyon olduğundan

g(7) = 7

dir.
Denklem:

(b + 3) + 7 = 15 \Rightarrow b + 10 = 15 \Rightarrow b = 5

.

4

İstenen toplamı hesaplama

16

a + b + c + d = 2 + 5 + 1 + 3 = 11 + 5 = 16

.

Key Concept

Sabit fonksiyon (

f(x)=c

) değişken içermez. Birim fonksiyon (

g(x)=x

) her elemanı kendisine eşler.

Question 282Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde, her $n$ pozitif tam sayısı için $A_n$ kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

A_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x, n \text{ sayısının tam katıdır} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

A_3 \cup A_4 = A_{12}

A_6 \subseteq A_{12}

A_4 \cap A_6 = A_{24}

A_{12} \cap A_{18} = A_{36}

A_5 \setminus A_{10} = \emptyset

Show answer & explanation

Answer: $A_{12} \cap A_{18} = A_{36}$

Answer

İki kümenin kesişimini ifade eden

A_{12} \cap A_{18} = A_{36}

eşitliği doğrudur.

Verilen tanıma göre

A_n

kümesi

n

'nin katlarını içerir. İki kümenin kesişimi (

A_a \cap A_b

), hem

a

'nın hem de

b

'nin katı olan sayıları, yani EKOK(

a,b

)'nin katlarını içerir.

12

ve

18

'in en küçük ortak katı

36

olduğundan,

A_{12} \cap A_{18}

kümesi

36

'nın katlarına (

A_{36}

) eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Küme tanımını analiz et.

A_n

,

n

sayısının tam katlarından oluşan kümedir. Örneğin

A_3 = \{..., -3, 0, 3, 6, ...\}

.

Sorudaki matematiksel notasyonu somutlaştırmak için.

2

Kesişim (

\cap

) işleminin mantığını bu tanıma uygula.

x \in A_a \cap A_b

olması için,

x

'in hem

a

'nın hem de

b

'nin katı olması gerekir. Bu da

x

'in EKOK(

a,b

)'nin katı olması demektir.

Ortak katların en küçüğü (EKOK) mantığını kullanarak kesişim kümesini bulmak için.

3

D seçeneğini kontrol et:

A_{12} \cap A_{18}

.

EKOK(12, 18) hesaplanır.

12 = 2^2 \cdot 3

,

18 = 2 \cdot 3^2

. EKOK =

2^2 \cdot 3^2 = 36

. Yani kesişim kümesi

A_{36}

'dır.

Verilen seçeneğin doğruluğunu matematiksel olarak kanıtlamak için.

4

Diğer seçeneklerdeki hataları belirle.

A şıkkı birleşim/kesişim hatasıdır. B şıkkı ters alt küme mantığıdır. C şıkkı EKOK yerine çarpma hatasıdır.

Yanlış seçenekleri eleyerek sağlamasını yapmak için.

Key Concept

Kümelerde İşlemler ve Bölünebilme İlişkisi

Hints

1

Kümelerin elemanlarını düşünün:

A_3 = \{3, 6, 9, 12, ...\}

,

A_4 = \{4, 8, 12, 16, ...\}

.

2

İki kümenin kesişimi (

\cap

), her iki sayının da ortak katı olan sayıları içerir.

3

Ortak katların en küçüğünü (EKOK) bulun.

A_a \cap A_b = A_{\text{EKOK}(a,b)}

kuralını hatırlayın.

Practice More

EKOK ve EBOB kavramlarının kümelerle ilişkisini inceleyen problemler çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 283Question →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi üzerinde tanımlı bir $f: A \rightarrow A$ fonksiyonu veriliyor.

Her

x \in A

için,

(f \circ f)(x) = 2

eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı

f

fonksiyonu tanımlanabilir?

8

9

10

12

16

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Verilen

(f \circ f)(x) = 2

koşulu, fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların tekrar fonksiyona girdiğinde 2 sonucunu vermesini gerektirir. Bu durum

f(2)=2

olmasını zorunlu kılar. Kalan elemanlar ya doğrudan 2'ye gitmeli ya da görüntüsü 2 olan başka bir elemana gitmelidir. Bu durumları sistematik olarak saydığımızda toplam 10 farklı fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Koşulu analiz et

(f \circ f)(x) = 2

olması,

f

fonksiyonunun görüntü kümesindeki her elemanın

f

altındaki görüntüsünün 2 olduğunu gösterir.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

f(f(x)) = 2

ise,

f(x)

değerleri ne olursa olsun, bu değerlerin tekrar

f

fonksiyonuna girmesiyle sonuç 2 çıkmalıdır.

2

Sabit nokta kuralını belirle

f(2) = 2

olmak zorundadır.

Eğer

x=2

alırsak,

(f \circ f)(2) = f(f(2)) = 2

olur.

f(2)

değeri

f

fonksiyonunun görüntü kümesindedir, dolayısıyla bu değerin görüntüsü de 2 olmalıdır.

3

Görüntü kümesi üzerinden durumları sınıflandır

K = \{x \in A \mid f(x) = 2\}

kümesini tanımlayalım.

2 \in K

olmalıdır.

Fonksiyonun yapısını

f(x)=2

olan elemanlar (K kümesi) ve olmayanlar üzerinden kurmak çözümü basitleştirir.

4

K kümesinin eleman sayısına göre durumları hesapla

Durum 1:

|K|=4

(Tüm elemanlar 2'ye gider). Sadece 1 fonksiyon vardır (

f(x)=2

).
Durum 2:

|K|=3

.

K=\{2, a, b\}

. Dışarıda kalan 1 eleman (

c

)

K \setminus \{2\}

kümesine gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{2} \times 2^1 = 3 \times 2 = 6

fonksiyon.
Durum 3:

|K|=2

.

K=\{2, a\}

. Dışarıda kalan 2 eleman (

b, c

)

K \setminus \{2\}

kümesine (yani

a

'ya) gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{1} \times 1^2 = 3

fonksiyon.
Durum 4:

|K|=1

.

K=\{2\}

. Dışarıdaki elemanlar

K \setminus \{2\} = \emptyset

kümesine gidemez. 0 fonksiyon.

Kombinasyon hesabı ile her senaryodaki fonksiyon sayısı bulunur.

5

Toplamı bul

1 + 6 + 3 + 0 = 10

farklı fonksiyon.

Ayrık durumların toplamı.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Sabit Fonksiyon İlişkisi

Hints

1

Önce

x=2

için

f(f(2))

değerini düşünün.

f(2)

ne olmak zorundadır?

2

f(2)=2

olduğunu bulduktan sonra, diğer elemanların (

1, 3, 4

) görüntülerini düşünün. Bu elemanlar ya doğrudan 2'ye gidebilir ya da görüntüsü 2 olan başka bir sayıya gidebilir.

3

Kümeyi iki parçaya ayırın: Doğrudan 2'ye gidenler (

K

) ve dolaylı yoldan 2'ye gidenler (

L

).

L

kümesindeki elemanlar

K

'ya gitmek zorundadır, ancak

K

sadece 2'den oluşamaz.

Practice More

Aynı soru

A=\{1,2,3\}

kümesi için sorulsaydı cevap kaç olurdu? (Cevap: 3)

Alternative Method

Graf teorisi ile düşünülürse: 2 nolu düğümde bir döngü (

2 \to 2

) olmalıdır. Diğer düğümler ya doğrudan 2'ye bağlanmalı ya da 2'ye giden başka bir düğüme bağlanmalıdır (derinlik en fazla 2). Ağaç yapısı çizilerek sayılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 284Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = (a-2)x^2 + (b+4)x + c-3$ fonksiyonu birim (özdeş) fonksiyondur.

Tanım kümesi $\mathbb{R} - \{2\}$ olan $g(x) = \frac{mx + 12}{3x - 6}$ fonksiyonu ise sabit fonksiyondur.

Buna göre, $f(b) + a \cdot g(c) - m$ ifadesinin değeri kaçtır?

-13

-2

-1

3

9

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

İşlemin sonucu -1'dir.

Birim fonksiyon f(x)=x olduğundan polinom eşitliği ile a=2, b=-3 bulunur. Sabit rasyonel fonksiyonda katsayılar oranı (m/3 = 12/-6) eşitliğinden m=-6 ve fonksiyonun sabit değeri -2 bulunur. Değerler yerine konulduğunda sonuç -1 çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyon tanımını uygula: f(x) = x olmalıdır.

Katsayılar: a-2=0 => a=2, b+4=1 => b=-3, c-3=0 => c=3.

Birim fonksiyonda x kareli terim olmaz, x'in katsayısı 1 ve sabit terim 0 olmalıdır.

2

Sabit fonksiyon olma şartını rasyonel fonksiyon için uygula.

m/3 = 12/(-6) => m/3 = -2 => m = -6. Sabit değer g(x) = -2.

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydadaki katsayıların oranları eşit olmalıdır.

3

İstenen değerleri yerine koyarak işlemi hesapla: f(b) + a*g(c) - m.

f(-3) + 2*g(3) - (-6) => (-3) + 2*(-2) + 6 = -3 - 4 + 6 = -1.

f birim olduğu için f(-3)=-3, g sabit olduğu için g(3)=-2 değerini alır.

Key Concept

Birim fonksiyon f(x)=x kuralına, sabit fonksiyon f(x)=c kuralına sahiptir. Rasyonel fonksiyonların sabit olması için katsayılar orantılı olmalıdır.

Hints

1

Birim fonksiyon, içine ne atılırsa dışarı aynısını çıkaran fonksiyondur (f(x)=x). Polinom eşitliğini buna göre kurunuz.

2

Rasyonel bir ifadenin (kesirli fonksiyonun) sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki x'li terimlerin ve sabit sayıların oranı birbirine eşit olmalıdır.

3

g(x) için m/3 = 12/(-6) eşitliğini kullanın. Ayrıca f(b) değeri, f birim olduğu için doğrudan b'ye eşittir.

Practice More

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke işlemindeki etkilerini (fog veya gof) inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

g(x) sabit fonksiyon ise g(x) = k diyebiliriz. İçler dışlar çarpımı yaparak mx+12 = k(3x-6) eşitliğinden katsayıları eşitleyerek de k ve m bulunabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 285Question →

Gerçel sayılar kümesi ( $\mathbb{R}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 3\}

B = \{y \in \mathbb{R} : |y| \le 2\}

Kartezyen çarpım kümesi üzerinde, $\beta = \{(x,y) \in A \times B \mid y \le x\}$ bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, analitik düzlemde $\beta$ bağıntısının grafiğinin oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

8

12

16

20

24

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Bölgenin alanı 16 birimkaredir.

Verilen eşitsizlikler çözüldüğünde A kümesi [-2, 4], B kümesi [-2, 2] aralığındadır. A x B kümesi 6x4 boyutlarında bir dikdörtgendir. y ≤ x koşulu incelendiğinde, x'in [-2, 2] aralığında olduğu kısımda alan karenin yarısı (8 br²), x'in [2, 4] aralığında olduğu kısımda ise alanın tamamı (8 br²) koşulu sağlar. Toplam alan 16 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin aralığını belirle.

|x - 1| \le 3 \implies -3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4

. Yani

A = [-2, 4]

.

Mutlak değer eşitsizliğini açarak x'in tanım aralığını bulmak gerekir.

2

B kümesinin aralığını belirle.

|y| \le 2 \implies -2 \le y \le 2

. Yani

B = [-2, 2]

.

y'nin tanım aralığını belirlemek için.

3

A \times B

bölgesini ve

y \le x

koşulunu analiz et.

Bölge,

x \in [-2, 4]

ve

y \in [-2, 2]

olan dikdörtgendir.

y \le x

koşulu,

y=x

doğrusunun altını ifade eder. Bölgeyi

x=2

noktasından ikiye ayıralım.

Geometrik şekli parçalayarak alan hesabını kolaylaştırmak için.

4

Birinci parça (

x \in [-2, 2]

) alanını hesapla.

Bu aralıkta

y \in [-2, 2]

ile bir kare oluşur.

y=x

doğrusu kareyi (köşegen) iki eşit üçgene böler. Alt kısım (

y \le x

) alanı:

\frac{4 \times 4}{2} = 8

birimkare.

Kare şeklindeki bölgede köşegen alanı ortadan ikiye böler.

5

İkinci parça (

x \in [2, 4]

) alanını hesapla.

Bu aralıkta

x \ge 2

ve

y \le 2

olduğu için,

y \le 2 \le x

eşitsizliği her zaman sağlanır (

y \le x

). Yani bu dikdörtgenin tamamı taralıdır. Alan:

(4-2) \times (2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8

birimkare.

x değerleri y'nin maksimum değerinden büyük olduğu için tüm bölge koşulu sağlar.

6

Toplam alanı bul.

Toplam Alan =

8 + 8 = 16

birimkare.

Parçaların alanları toplanır.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgelerin alan hesabı ve eşitsizlik grafikleri.

Hints

1

Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin sayı doğrusundaki aralıklarını bulunuz.

2

Analitik düzlemde x ekseninde A aralığını, y ekseninde B aralığını işaretleyerek oluşan dikdörtgeni çizin ve y = x doğrusunu ekleyin.

3

Bölgeyi x = 2 doğrusu ile ikiye ayırın. Sol tarafta bir kare ve köşegen, sağ tarafta ise bir dikdörtgen oluşacaktır. y ≤ x koşulunun nereleri taradığını bu parçalarda inceleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu 'y ≥ x + 1' koşulu veya dairesel bir bölge (

x^2 + y^2 \le r^2

) ile deneyin.

Alternative Method

Toplam alandan (24), koşulu SAĞLAMAYAN (y > x) bölgenin alanını çıkararak da bulunabilir. y > x sadece x ∈ [-2, 2] aralığındaki karenin üst üçgeninde (Alan=8) sağlanır. 24 - 8 = 16.

Estimated Time:2m 30s

Question 286Question →

Gerçel sayılar kümesinde

\{0, 1\}

kümesi dışındaki sayılar için tanımlı bir

f

fonksiyonu, tanım kümesindeki her

x

değeri için,

f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2}{x}

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

-\frac{5}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

\frac{5}{2}

\frac{7}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{2}$

Answer

Fonksiyonun döngüsel özelliği kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden

7/2

elde edilir.

Verilen fonksiyonel denklemde

x

değişkenine sırasıyla

2

,

-1

ve

1/2

değerleri verildiğinde, bilinmeyenler (

f(2), f(-1), f(1/2)

) arasında kapalı bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan

7/2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İstenen değer olan

f(2)

'yi bulmak için denklemde

x=2

değerini yerine yaz.

f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = \frac{2}{2} \Rightarrow f(2) + f(-1) = 1

(1. Denklem)

Fonksiyon denkleminde bilinmeyen bir terim (

f(-1)

) ortaya çıkar, bunu bulmak için bir sonraki adıma geçilir.

2

Ortaya çıkan

f(-1)

değerini bulmak için denklemde

x=-1

yaz.

f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = \frac{2}{-1} \Rightarrow f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = -2

(2. Denklem)

Yeni bir bilinmeyen (

f(1/2)

) ortaya çıkar, döngüyü tamamlamak için işleme devam edilir.

3

Ortaya çıkan

f(1/2)

değerini bulmak için denklemde

x=1/2

yaz.

f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-0.5}\right) = \frac{2}{0.5} \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = 4

(3. Denklem)

Tekrar

f(2)

terimine ulaşıldığı için 3 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem elde edilir.

4

Elde edilen 3 denklemi taraf tarafa işlemlere sokarak

f(2)

'yi çöz.

f(2)=a, f(-1)=b, f(1/2)=c

olsun.

Sistem:

a+b=1

,

b+c=-2

,

c+a=4

. 1. denklemden

b=1-a

bulunur. 2. denklemde yerine yazılırsa

(1-a)+c=-2 \Rightarrow c-a=-3

olur. Son olarak

c+a=4

ve

c-a=-3

denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa (

2a = 7

) bulunur.

Lineer denklem sistemini çözerek hedef değişkene ulaşılır.

Key Concept

Bu soru tipi 'Döngüsel (Cyclic) Fonksiyonlar' olarak bilinir. Verilen bağıntıda

x

yerine sırasıyla değerler verilerek başa dönen bir denklem sistemi oluşturulur.

Hints

1

Denklemde doğrudan

x=2

yazın. Karşınıza çıkan yeni

f(...)

değeri için tekrar

x

yerine o değeri yazarak ilerleyin.

2

x=2

yazdığınızda

f(-1)

terimi,

x=-1

yazdığınızda

f(1/2)

terimi,

x=1/2

yazdığınızda ise tekrar

f(2)

terimi ortaya çıkar.

3

Elinizde

f(2)

,

f(-1)

ve

f(1/2)

bilinmeyenlerinden oluşan 3 adet denklem var. Bu denklem sistemini çözerek

f(2)

'yi yalnız bırakın.

Practice More

f(x) + 2f(1/x) = x

eşitliğini sağlayan fonksiyonda

f(3)

değerini bulunuz.

Alternative Method

Genel çözüm için

y = \frac{1}{1-x}

dönüşümü üç kez uygulanarak

f(x)

fonksiyonunun kuralı

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1-x}{1} + x

benzeri bir yapı ile genel olarak bulunabilir, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.

Estimated Time:4m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method