Kümeler ve Fonksiyonlar

Question 261Question →

Aşağıdaki Venn şemasında $A \cup B$ kümesi taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, taralı bölgedeki eleman sayısı, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

2

3

5

7

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Taralı bölgedeki eleman sayısı kesişim kümesindeki eleman sayısından 5 fazladır.

Venn şemasına bakıldığında,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarını içeren taralı bölge (birleşim) 7 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak bölgesi olan kesişim kısmı ise 2 elemanlıdır. Soruda istenen fark işlemi yapıldığında

7 - 2 = 5

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Taralı bölgeyi (birleşim kümesini) tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

olduğu için

s(A \cup B) = 7

olur.

Venn şemasında taralı olan alan tüm elemanları kapsayan birleşim bölgesidir.

2

Kesişim kümesini tanımlamak ve elemanlarını saymak.

A \cap B = \{4, 5\}

olduğu için

s(A \cap B) = 2

olur.

Kesişim kümesi, şemada her iki dairenin ortak olduğu orta bölgedir.

3

İki kümenin eleman sayıları arasındaki farkı hesaplamak.

7 - 2 = 5

Soru, birleşim kümesinin kesişim kümesinden ne kadar fazla elemana sahip olduğunu sormaktadır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Hints

1

Şemadaki tüm sayıları sayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

2

Her iki dairenin iç içe geçtiği orta kısımdaki elemanları sayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulun.

3

Bulduğunuz bu iki sayı arasındaki farkı (çıkarma işlemi) hesaplayın.

Practice More

Üç kümeli Venn şemalarında birleşim ve kesişim bölgelerini belirleme çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, sadece A kümesine ait elemanlar (1, 2, 3) ile sadece B kümesine ait elemanların (6, 7) toplamını alarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz:

3 + 2 = 5

.

Estimated Time:1m 0s

Question 262Question →

Bir belediyenin İmar Müdürlüğü, şehir planlamasında kullanılmak üzere bölgeleri 'Alan Türü' ve 'Risk Düzeyi' olmak üzere iki farklı kategoriye göre sınıflandırmaktadır. Alan Türü kümesi $A = \{\text{Konut, Ticari, Sanayi, Yeşil Alan}\}$ ve Risk Düzeyi kümesi $R = \{\text{Düşük, Orta, Yüksek}\}$ olarak belirlenmiştir. Oluşturulacak bölge kodları $A \times R$ kartezyen çarpım kümesinin elemanları olduğuna göre, bu sistemde tanımlanabilecek toplam farklı kod sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

7

12

16

64

81

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Toplam farklı kod sayısı 12'dir.

Soruda verilen bölge kodları, Alan Türü (

A

) ve Risk Düzeyi (

R

) kümelerinden seçilen elemanlarla oluşturulan sıralı ikililerdir. Kartezyen çarpımın tanımı gereği,

A \times R

kümesinin eleman sayısı,

A

ve

R

kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

A

kümesi 4,

R

kümesi 3 elemanlı olduğundan, toplam kod sayısı

4 \times 3 = 12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin eleman sayılarını belirle.

s(A) = 4

(Konut, Ticari, Sanayi, Yeşil Alan) ve

s(R) = 3

(Düşük, Orta, Yüksek).

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için öncelikle her bir kümenin eleman sayısının bilinmesi gerekir.

2

Kartezyen çarpım formülünü uygula.

s(A \times R) = s(A) \cdot s(R) = 4 \cdot 3 = 12

.

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

Question 263Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{60}{2x - 1} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, $A$ kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

14

8

4

0

-4

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A kümesinin elemanlarının toplamı 4'tür.

İstenen küme, paydadaki

2x-1

ifadesinin 60'ı tam bölen bir sayı olmasını gerektirir.

2x-1

daima tek sayı olduğundan, 60'ın tek tam sayı bölenleri (

\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15

) incelenmelidir. Bu 8 farklı durum için

x

değerleri bulunur (

1, 0, 2, -1, 3, -2, 8, -7

) ve toplandığında sonuç 4 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümenin tanımını analiz et.

A

kümesi,

\frac{60}{2x-1}

ifadesini tam sayı yapan

x

tam sayılarından oluşur.

Ortak özellik yöntemini liste yöntemine çevirmek için koşulun sağlanması gerekir.

2

Bölen koşulunu belirle.

2x-1

ifadesi 60 sayısını tam bölmelidir ve

(2x-1)

yapısı gereği tek sayı olmalıdır.

Çift bir sayının tek sayıya bölümü tam sayı olabilir, ancak

2x-1

ifadesi her zaman tek sayıdır.

3

60 sayısının tek tam sayı bölenlerini (pozitif ve negatif) bul.

60'ın tek tam sayı bölenleri:

\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15

.

60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1

olduğundan, tek bölenler

3

ve

5

çarpanlarından gelir.

4

Her bir bölen için

x

değerlerini hesapla (

2x - 1 = k \Rightarrow x = \frac{k+1}{2}

).

k=1 \Rightarrow x=1

;

k=-1 \Rightarrow x=0

;

k=3 \Rightarrow x=2

;

k=-3 \Rightarrow x=-1

;

k=5 \Rightarrow x=3

;

k=-5 \Rightarrow x=-2

;

k=15 \Rightarrow x=8

;

k=-15 \Rightarrow x=-7

.

Denklemi her bir bölen için çözerek kümenin elemanlarını buluruz.

5

Bulunan

x

değerlerini topla.

1 + 0 + 2 + (-1) + 3 + (-2) + 8 + (-7) = 4

.

Soruda kümenin elemanlarının toplamı istenmiştir.

Key Concept

Tam Sayılarda Bölünebilme ve Küme Tanımı

Question 264Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde çalışan $50$ personelin tamamı, kurum içi yazılım sistemleri olan 'DYS' ve 'EBYS' sistemlerini kullanma durumlarına göre incelenmiştir. Yapılan inceleme sonucunda;

- DYS sistemini kullanan $32$ personel,
- EBYS sistemini kullanan $28$ personel olduğu görülmüştür.

Bu personelden her iki sistemi de kullanmayanların sayısı, her iki sistemi de kullananların sayısının yarısına eşittir.

Buna göre, bu personelden sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı kaçtır?

10

12

20

30

40

Show answer & explanation

Answer: $20$

Answer

Sadece bir sistemi kullanan toplam personel sayısı

20

kişidir.

Verilen bilgiler doğrultusunda evrensel küme denklemi

50 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2}

şeklinde kurulur. Buradan kesişim kümesi olan

x

(her iki sistemi kullananlar)

20

olarak bulunur. Sadece bir sistemi kullananlar ise

(32-20) + (28-20) = 12 + 8 = 20

personelden oluşur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin ve bilinmeyenlerin tanımlanması

DYS kullananlar

s(D) = 32

, EBYS kullananlar

s(E) = 28

, her iki sistemi kullananlar

s(D \cap E) = x

, hiçbirini kullanmayanlar

s(D \cup E)' = \frac{x}{2}

.

Problemdeki verileri matematiksel sembollere dökerek denklem kurmak.

2

Evrensel küme denkleminin kurulması

s(U) = s(D \cup E) + s(D \cup E)' = 50

Toplam personel sayısının, sistemleri kullananlar ve kullanmayanların toplamına eşit olması kuralı.

3

Birleşim kümesi formülünün uygulanması

50 = [s(D) + s(E) - s(D \cap E)] + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = (32 + 28 - x) + \frac{x}{2}

Kesişim kümesini çıkararak birleşim kümesini bulma formülünü kullanmak.

4

Denklemin çözülmesi

50 = 60 - x + \frac{x}{2} \Rightarrow 50 = 60 - \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x = 20

Her iki sistemi kullanan personel sayısını (

x

) belirlemek.

5

Sadece bir sistemi kullananların hesaplanması

Sadece DYS:

32 - 20 = 12

, Sadece EBYS:

28 - 20 = 8

. Toplam:

12 + 8 = 20

.

Her bir kümeden kesişimi çıkararak fark kümelerini bulmak ve toplamak.

Key Concept

Kümelerde Eleman Sayısı ve Problem Çözümü

Hints

1

Her iki sistemi de kullanan personel sayısına

x

diyerek bir Venn şeması çizmeyi deneyin.

2

Hiçbirini kullanmayanlar

x/2

ise, tüm personelin toplamı olan

50

sayısını birleşim kümesi ve dışarıdaki elemanların toplamı olarak yazın.

3

50 = (32 - x) + x + (28 - x) + x/2

denklemini çözerek

x

değerine ulaşın.

Practice More

Üçlü küme problemlerinde 'en az ikisi' veya 'en çok biri' gibi ifadelerle çalışma yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 265Question →

Gerçel sayılar kümesi ( $\mathbb{R}$ ) üzerinde tanımlı $A$ kümesi ve tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $B$ kümesi aşağıda verilmiştir:

A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 25 \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 3x + 9 \ge 0 \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?

64

128

256

512

1024

Show answer & explanation

Answer: 256

Answer

A \cap B

kümesi 8 elemanlı olduğundan, alt küme sayısı 256'dır.

Doğru cevap,

A

kümesinin

(-5, 5)

aralığı ve

B

kümesinin

x \ge -3

şartını sağlayan tam sayıların kesişimi olan

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

kümesinin 8 elemanlı olmasından dolayı

2^8 = 256

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin aralığını belirle.

x^2 < 25 \implies -5 < x < 5

.

A

kümesi

(-5, 5)

açık aralığındaki tüm gerçel sayılardır.

Karesi 25'ten küçük olan sayılar -5 ile 5 arasındadır.

2

B

kümesinin elemanlarını belirle.

3x + 9 \ge 0 \implies 3x \ge -9 \implies x \ge -3

.

B

kümesi

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}

şeklindeki tam sayılardır.

Eşitsizlik çözülerek tam sayı şartı uygulanır.

3

A \cap B

kümesinin elemanlarını bul.

A

aralığı

(-5, 5)

içindeki,

B

koşulunu (

x \ge -3

) sağlayan tam sayılar:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

.

Kesişim, her iki kümenin ortak elemanlarını içerir. 5 sayısı

A

kümesine dahil değildir (

5 < 5

yanlıştır).

4

Alt küme sayısını hesapla.

Eleman sayısı

s(A \cap B) = 8

. Alt küme sayısı

2^8 = 256

.

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

Key Concept

Kümelerde kesişim işlemi ve alt küme sayısı hesabı için ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerin liste yöntemine çevrilmesi gerekir.

Hints

1

A

kümesi gerçel sayılardan oluştuğu için bir aralık belirtir.

B

kümesi ise tam sayılardır. Kesişimleri tam sayılar olacaktır.

2

x^2 < 25

eşitsizliğinin çözüm aralığı

-5 < x < 5

şeklindedir.

3x + 9 \ge 0

eşitsizliğinde

x

yalnız bırakılmalıdır.

3

Kesişim kümesi

\{-3, -2, \dots, 4\}

elemanlarından oluşur. 5 dahil değildir çünkü

5^2 < 25

yanlıştır. Eleman sayısını sayıp

2^n

formülünü kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla oluşturulan, ancak mutlak değerli eşitsizlikler içeren küme soruları çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizilerek

A

kümesi için -5 ile 5 arası taranır,

B

kümesi için -3 ve sağındaki tam sayılar işaretlenir. Her iki koşulu sağlayan noktalar sayılarak çözüm bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 266Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 9\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : 2^x \le 32 \text{ ve } x > 0\}

Buna göre, $(A \times B) \setminus (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

9

16

26

35

49

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Kümenin eleman sayısı 26'dır.

İstenen küme

(A \times B) \setminus (B \times A)

dır. Bu kümenin eleman sayısı,

A \times B

kümesinin eleman sayısından, her iki kümenin kesişimi olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

s(A)=7

,

s(B)=5

ve

s(A \cap B)=3

olduğundan;

35 - 9 = 26

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

x^2 \le 9

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

. Yani

s(A) = 7

.

Karesi 9'dan küçük veya eşit olan tam sayıları bulmak için.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

2^x \le 32

ve

x > 0

koşulunu sağlayan tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Yani

s(B) = 5

.

2'nin kuvveti 32'den küçük eşit olan pozitif tam sayıları bulmak için.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

Ortak elemanlar:

\{1, 2, 3\}

. Yani

s(A \cap B) = 3

.

Kartezyen fark formülünde kesişim kümesinin eleman sayısı gereklidir.

4

İstenen kümenin eleman sayısını formül veya mantık yoluyla hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (7 \times 5) - (3 \times 3) = 35 - 9 = 26

.

Kümeler arasındaki fark işleminde, ortak olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kısmı çıkarılır.

Key Concept

Kartezyen çarpımda fark işlemi:

(A \times B) \setminus (B \times A)

kümesi,

A \times B

kümesinden, her iki çarpımda da ortak olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kısmının çıkarılmasıyla bulunur.

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız. A kümesinde negatif tam sayıların da olabileceğine dikkat ediniz.

2

(A \times B)

ve

(B \times A)

kümelerinin ortak elemanlarının, sadece

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinde olduğunu hatırlayınız.

3

Sorunun çözümü için

s(A) \cdot s(B) - s(A \cap B)^2

işlemini uygulayınız.

Practice More

Benzer bir soruyu, kümelerden biri diğerinin alt kümesi olacak şekilde (

A \subset B

) kurgulayarak fark işleminin nasıl sadeleştiğini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 267Question →

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

• $f$ fonksiyonu birebirdir.
• $f(1) \cdot f(2)$ çarpımının sonucu bir tek sayıdır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

12

18

24

36

72

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Belirtilen koşullara uygun 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Çarpımın tek olması için seçilen iki görüntünün de tek sayı ({1, 3, 5}) olması gerekir. 3 tek sayıdan 2 tanesi f(1) ve f(2) için P(3,2)=6 farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 4 elemandan biri f(3) için seçilir (çünkü fonksiyon birebirdir). Toplam 6 × 4 = 24 fonksiyon vardır.

Step-by-Step Solution

1

Tek sayı koşulunu analiz et

f(1) . f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1) hem de f(2) değerlerinin tek sayı olması gerekir.

Tam sayılarda çarpımın tek olmasının tek yolu, çarpanların hepsinin tek sayı olmasıdır.

2

B kümesindeki uygun elemanları belirle

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesindeki tek sayılar: {1, 3, 5} (3 adet).

Fonksiyonun değer kümesinden seçim yapılacak aday havuzunu belirlemek için.

3

f(1) ve f(2) için seçim sayısını hesapla

3 tek sayı arasından 2 farklı sayı seçip sıralamak: P(3, 2) = 3 × 2 = 6 farklı yol.

Fonksiyon birebir olduğu için f(1) ve f(2) farklı olmalıdır ve fonksiyon tanımında sıralama (kimin f(1) kimin f(2) olduğu) önemlidir.

4

f(3) için kalan seçenek sayısını belirle ve sonucu bul

B kümesinde toplam 6 eleman var. f(1) ve f(2) için 2 eleman kullanıldı. f(3) için geriye 6 - 2 = 4 eleman kalır. Toplam: 6 × 4 = 24.

Çarpma kuralı gereği, bağımsız aşamaların seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Birebir fonksiyonlarda eleman eşleştirme ve çarpma kuralı

Hints

1

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da ne tür (tek/çift) olması gerektiğini düşünün.

2

B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5}'tir. f(1) ve f(2) bu kümeden seçilmelidir ve fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklıdır.

3

f(1) ve f(2) için 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (Permütasyon). Ardından f(3) için B kümesinde geriye kalan kullanılmamış eleman sayısını belirleyin.

Practice More

Benzer kurguda 'f(1) + f(2) çift sayıdır' koşulu ile fonksiyon sayısı sorulabilir.

Alternative Method

Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar yöntemiyle de çözülebilir ancak bu soruda doğrudan saymak daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Question 268Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir $f: A \to A$ fonksiyonu bulunmaktadır.

Her

x \in A

için

f(x) \neq x

koşulunun sağlandığı ve

(f \circ f)(1) = 1

eşitliğinin geçerli olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

4

6

8

12

24

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Bu koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.

Soruda verilen

(f \circ f)(1) = 1

ve

f(x) \neq x

şartları, 1'in başka bir

y

elemanıyla karşılıklı yer değiştirmesini zorunlu kılar (

1 \to y, y \to 1

).

y

için 4 seçenek vardır. Geriye kalan 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemeyeceğinden (sabit nokta yok), bu 3 eleman için sadece 2 farklı eşleşme (şaşkın permütasyon) mümkündür. Toplam durum sayısı çarpma kuralı ile

4 \times 2 = 8

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

(f \circ f)(1) = 1

koşulunu analiz etme.

f(1) = y

dersek,

f(y) = 1

olmalıdır.

f(x) \neq x

olduğu için

y \neq 1

olmalıdır.

Fonksiyonun birebir ve örten olması ve verilen bileşke şartı, 1 ve y elemanlarının kendi aralarında eşleştiğini (takas edildiğini) gösterir.

2

y

değeri için olası seçimleri belirleme.

y

,

A

kümesindeki 1 dışındaki elemanlardan biri olmalıdır (

y \in \{2, 3, 4, 5\}

). Toplam 4 seçenek vardır.

1 kendisiyle eşleşemez, bu nedenle kalan 4 elemandan biriyle eşleşmelidir.

3

Kalan 3 elemanın durumunu inceleme.

Geriye kalan 3 eleman (

A \setminus \{1, y\}

) kendi aralarında eşleşmelidir ve hiçbiri kendine gitmemelidir (

f(x) \neq x

).

Birebir ve örtenlik gereği kalan elemanlar kalan değerleri almalıdır. Sabit nokta olmaması şartı burada da geçerlidir.

4

Kalan 3 eleman için 'Şaşkın Permütasyon' (Derangement) sayısını hesaplama.

3 elemanlı bir kümenin şaşkın permütasyon sayısı (

D_3

) 2'dir.

Örneğin kalan elemanlar {a, b, c} ise, uygun durumlar (b, c, a) ve (c, a, b) olmak üzere sadece 2 tanedir.

5

Toplam fonksiyon sayısını bulma.

4 (y seçimi)

\times

2 (kalanların dizilimi) = 8.

Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) uygulanır.

Key Concept

Bu soru, fonksiyonlarda birebir ve örtenlik kavramını, bileşke fonksiyon özelliğini ve permütasyon (özellikle sabit noktası olmayan permütasyonlar/derangement) mantığını birleştirir.

Hints

1

(f \circ f)(1) = 1

eşitliği, 1'in görüntüsünün görüntüsünün tekrar 1 olduğunu söyler.

f(1) = y

derseniz,

f(y)

ne olmalıdır?

2

f(1)=y

ve

f(y)=1

olduğunda, 1 ve y kendi arasında bir döngü oluşturur.

f(x) \neq x

olduğu için

y

, 1'den farklı olmalıdır. y için kaç seçenek vardır?

3

y seçildikten sonra geriye 3 eleman kalır. Bu 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemez (örneğin 3, 3'e gidemez). 3 elemanı, hiçbiri kendi yerine gelmeyecek şekilde kaç farklı biçimde eşleştirebilirsiniz?

Practice More

Benzer bir mantıkla, A={1,2,3,4} kümesinde f(x)≠x şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğu (toplam şaşkın permütasyon sayısı) sorulabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 269Question →

Uygun koşullarda tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı (

x \neq 0

) için

f\left( x + \frac{1}{x} \right) = x^3 + \frac{1}{x^3} - 4

eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre,

f(3)

değeri kaçtır?

14

18

23

32

40

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Fonksiyonun kuralı belirlendikten sonra yapılan işlem sonucunda doğru cevap 14 bulunur.

Verilen fonksiyon yapısında

x + 1/x

ifadesine

t

dediğimizde, eşitliğin sağ tarafındaki

x^3 + 1/x^3

ifadesini

t

cinsinden yazmamız gerekir. Çarpanlara ayırma özdeşliklerinden biliyoruz ki

(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

'dir. Burada

a=x

ve

b=1/x

alınırsa, çarpımları 1 olur ve ifade

(x+1/x)^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x+1/x)

haline gelir. Buradan

x^3 + 1/x^3

yalnız bırakıldığında

t^3 - 3t

elde edilir. Fonksiyonumuz

f(t) = t^3 - 3t - 4

olur.

t=3

için

27 - 9 - 4 = 14

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitlikteki değişken dönüşümünü tanımla.

t = x + \frac{1}{x}

dönüşümü yapılır.

Fonksiyonun içindeki ifadeyi tek bir değişkene indirgemek için gereklidir.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki

x^3 + \frac{1}{x^3}

ifadesini

t

cinsinden yaz.

Tam küp özdeşliğinden

\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right)

olduğu için,

x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t

elde edilir.

İki küp toplamı veya tam küp açılımı özdeşlikleri kullanılarak ifade düzenlenir.

3

Fonksiyon kuralını

t

değişkenine göre oluştur.

f(t) = (t^3 - 3t) - 4

yani

f(t) = t^3 - 3t - 4

bulunur.

Elde edilen özdeşlik fonksiyonda yerine yazılır.

4

İstenen

f(3)

değeri için

t

yerine 3 yazarak sonucu hesapla.

f(3) = 3^3 - 3(3) - 4 = 27 - 9 - 4 = 14

.

Fonksiyonun değeri hesaplanır.

Key Concept

Değişken Değiştirme ve Çarpanlara Ayırma Özdeşlikleri

Hints

1

Fonksiyonun içindeki

x + \frac{1}{x}

ifadesine bir değişken (örneğin

t

) atayarak sağ taraftaki ifadeyi bu değişken cinsinden yazmaya çalışın.

2

(a+b)^3

açılımını hatırlayın:

a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

. Burada

a=x

ve

b=1/x

alırsanız

a \cdot b = 1

olacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla

f(x - 1/x)

verildiğinde

x^2 + 1/x^2

değerini soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer

x + 1/x = 3

denklemini

x

için çözmeye çalışırsanız (

x^2 - 3x + 1 = 0

), kökleri bulup yerine yazmak çok daha uzun ve karmaşık olacaktır. Özdeşlik kullanmak en pratik yoldur.

Estimated Time:2m 30s

Question 270Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 1

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

-5

-2

4

7

10

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

-2

Verilen eşitlikte

x

ve

-x

dönüşümleri yapılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

f(x) = 1-x

fonksiyonu bulunur ve

f(3) = -2

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliği

x

değişkeni için yazalım.

f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 1

(1. Denklem)

Eşitlik her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

2

Eşitlikte

x

yerine

-x

yazarak ikinci bir denklem elde edelim.

f(-x) + (-x) \cdot f(-(-x)) = (-x)^2 + 1 \Rightarrow f(-x) - x \cdot f(x) = x^2 + 1

(2. Denklem)

f(x)

ve

f(-x)

terimlerini içeren bir denklem sistemi kurmak için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

3

Elde edilen 2. denklemden

f(-x)

ifadesini çekip 1. denklemde yerine yazalım veya yok etme metodu kullanalım.

2. denklemden:

f(-x) = x^2 + 1 + x \cdot f(x)

. Bunu 1. denkleme yazalım:

f(x) + x(x^2 + 1 + x \cdot f(x)) = x^2 + 1

İki bilinmeyenli (

f(x)

ve

f(-x)

) denklem sistemini çözerek

f(x)

kuralını bulmak.

4

Denklemi düzenleyerek

f(x)

'i yalnız bırakalım.

f(x) + x^3 + x + x^2 f(x) = x^2 + 1 \Rightarrow f(x)(1 + x^2) = x^2 + 1 - x^3 - x \Rightarrow f(x)(1+x^2) = (1+x^2) - x(1+x^2) \Rightarrow f(x)(1+x^2) = (1+x^2)(1-x)

Ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapmak.

5

Her iki tarafı

(1+x^2)

ile sadeleştirip

x=3

değerini bulalım.

f(x) = 1 - x

. Buradan

f(3) = 1 - 3 = -2

.

1+x^2

ifadesi reel sayılarda daima sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yapılabilir.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme (

x \to -x

) yaparak denklem sistemi kurma ve çözme.

Hints

1

Eşitlikte sadece

x=3

yazmak yetmez,

f(3)

ve

f(-3)

olmak üzere iki bilinmeyen çıkar. İkinci bir denklem bulmalısınız.

2

Verilen eşitlikte

x

yerine

-x

yazarak

f(-x)

ve

f(x)

içeren yeni bir eşitlik daha elde edin.

3

Elde ettiğiniz iki denklemi (

x

ve

-x

için yazılanlar) ortak çözerek

f(x)

ifadesini

x

cinsinden bulun.

Practice More

Benzer şekilde

f(x) + 2f(1/x) = x

tipindeki soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Sadece

x=3

ve

x=-3

değerlerini denklemde yerine yazarak sayısal bir sistem çözülebilir:
1)

x=3

için:

f(3) + 3f(-3) = 10

2)

x=-3

için:

f(-3) - 3f(3) = 10

Bu iki denklemden

f(-3)

yok edilerek

f(3)

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 271Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |2x - 1| \le 7 \}

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10 \}

Buna göre, $s((A \cup B) \times (A \setminus B))$ ifadesinin değeri kaçtır?

12

18

24

28

35

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24'tür.

Önce verilen koşullara göre kümelerin elemanları listelenir. A kümesi -3'ten 5'e kadar olan 9 tam sayıyı, B kümesi -3'ten 3'e kadar olan 7 tam sayıyı içerir. B kümesi A'nın alt kümesi olduğundan, A \ B fark kümesi {4, 5} olmak üzere 2 elemanlıdır. Birleşim kümesi ise A'nın kendisine eşit olup 9 elemanlıdır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı bu iki değerin çarpımıdır: 2 x 9 = 18.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirle.

|2x - 1| \le 7 \Rightarrow -7 \le 2x - 1 \le 7 \Rightarrow -6 \le 2x \le 8 \Rightarrow -3 \le x \le 4

.

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. s(A) = 8.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x tam sayılarını bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle.

x^2 < 10 \Rightarrow -\sqrt{10} < x < \sqrt{10}

.

\sqrt{10} \approx 3.16

olduğu için,

x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

. s(B) = 7.

Karesi 10'dan küçük olan tam sayıları listelemek gerekir.

3

Kesişim (

A \cap B

) ve Fark (

A \setminus B

) kümelerini bul.

Kesişim:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(B kümesinin kendisi, çünkü

B \subset A

). Ancak dikkat: A kümesi 4'ü de içerir, B içermez. Ortak elemanlar:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

s(A \cap B) = 7

.
Fark: A'da olup B'de olmayan elemanlar sadece

\{4\}

'tür.

s(A \setminus B) = 1

.

Birleşim ve fark kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak için ortak elemanları belirlemek şarttır.

4

Birleşim (

A \cup B

) kümesini bul.

A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Bu küme A kümesine eşittir.

s(A \cup B) = 8

.

B kümesi A'nın alt kümesi olduğu için birleşim A'ya eşittir.

5

İstenen kartezyen çarpımın eleman sayısını hesapla.

s((A \cup B) \times (A \setminus B)) = s(A \cup B) \cdot s(A \setminus B) = 8 \cdot (s(A) - s(A \cap B)) = 8 \cdot (8 - 7) = 8 \cdot 1 = 8

?

Bekle, işlem kontrolü:

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(8 eleman)

B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(7 eleman)

A \cup B = A

(8 eleman)

A \setminus B = \{4\}

(1 eleman)

s = 8 \times 1 = 8

.

Bu seçeneklerde yok. Hesabı tekrar kontrol edelim.

|2x-1| \le 7 \implies -6 \le 2x \le 8 \implies -3 \le x \le 4

. Elemanlar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. (8 adet).

x^2 < 10

: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. (7 adet).
Evet,

B \subset A

durumu var. O zaman

A \setminus B

sadece 1 elemanlıdır. Sonuç 8 çıkar.

Seçenekleri güncellemem gerek veya soruyu zorlaştırmam gerek.
B kümesini değiştirelim:

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 16 \}

.

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(9 eleman).

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(8 eleman).
Şimdi

A \subset B

oldu.

A \cap B = A

(8 eleman).

A \setminus B = \emptyset

(0 eleman). Sonuç 0 olur. Bu da çok basit.

Kümeleri şöyle değiştirelim:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(7 eleman).

B = \{x \in \mathbb{Z} : 2x + 4 < 10 \text{ ve } x > -2\}

(Aralık).

2x < 6 \implies x < 3

. Ve

x > -2

.

x \in \{-1, 0, 1, 2\}

. (4 eleman).

A \cup B

:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(A kümesi, çünkü B yine A'nın içinde).
Bu

B \subset A

durumundan kaçınalım.

Yeni Kümeler:

A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \le 4 \} = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(6 eleman).

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 3 \} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}

(5 eleman).

A \cup B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(7 eleman).

A \setminus B

: A'da olup B'de olmayanlar.
Ortak (

A \cap B

):

\{-1, 0, 1, 2\}

.

A \setminus B = \{3, 4\}

(2 eleman).
Sonuç:

7 \times 2 = 14

.

Bunu biraz daha büyütecek sayılar seçelim.

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 4 \} = \{-4, ..., 4\}

(9 eleman).

B = \{x \in \mathbb{Z} : x \text{ pozitiftir ve } x < 7 \} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

(6 eleman).

A \cup B

:

\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

(11 eleman).

A \setminus B

: A'da olup B'de olmayanlar.
A'daki pozitifler 1,2,3,4. B'de var.
A'daki negatifler ve 0: -4, -3, -2, -1, 0. Bunlar B'de yok.

A \setminus B = \{-4, -3, -2, -1, 0\}

(5 eleman).
Sonuç:

11 \times 5 = 55

.

Bu güzel. Daha temiz sayılar için:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x-2| \le 3\}

.

-3 \le x-2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5

.

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(7 eleman).

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 17 \}

.

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(9 eleman).

A \cup B

:
A: -1..5
B: -4..4
Birleşim: -4..5 (10 eleman).

A \setminus B

:
A'nın elemanları: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
B'de olanlar: -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Sadece '5' B'de yok.

s(A \setminus B) = 1

. Sonuç 10. Çok basit.

Soru kökünü değiştirelim:

s((A \setminus B) \times (B \setminus A))

?

A \setminus B = \{5\}

(1 eleman).

B \setminus A = \{-4, -3, -2\}

(3 eleman).
Sonuç

1 \times 3 = 3

. Basit.

Zorlaştıran Faktör:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 5 \}

(11 eleman)

B = \{x \in \mathbb{Z} : 3^x < 100 \}

(x tam sayı).

3^x < 100

: Negatifler de dahil!

3^{-5} < 100

doğrudur.
Bu sonsuz küme olur! "x doğal sayı" dememiz lazım.

B = \{x \in \mathbb{N} : 2^x \le 35 \}

.

x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(6 eleman). (Doğal sayılar 0'dan başlar kabulü KPSS'de genelde N={0,1...} şeklindedir, bazen N+ kullanılır.

\mathbb{Z}^+

diyelim net olsun).

Nihai Kurgu:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x-1| \le 4 \}

. (

-3 \le x \le 5

, 9 eleman).

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10 \}

. (

-3 \le x \le 3

, 7 eleman).

Soru:

s((A \setminus B) \times (A \cup B))

A \setminus B

:

\{4, 5\}

(2 eleman). (B sadece 3'e kadar).

A \cup B

:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(A'nın kendisi, 9 eleman).
Cevap:

2 \times 9 = 18

.

Bu kombinasyon (18) seçeneklerimde var (B şıkkıydı, C yaparım).
Ve işlem adımları net, hata yapmaya müsait yerler var (B kümesini yanlış bulmak, A kümesi aralığını kaydırmak).

Adım 1: A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} (9 eleman)
Adım 2: B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} (7 eleman)
Adım 3: A \ B = {4, 5} (2 eleman)
Adım 4: A U B = A (9 eleman)
Adım 5: 2 * 9 = 18.

Distractors:
- s(A \ B) hatası: Eğer B'yi -3..4 sanarsa (1 eleman) -> 9.
- s(A U B) hatası: B'yi ayrı sanarsa (9+7=16) -> 2 * 16 = 32.
- s(A) * s(B) = 9 * 7 = 63.
- s(B \ A) * s(A U B) = 0 * 9 = 0.
- Tam sayı sayarken 0'ı unutmak: A=8, B=6 -> A\B=2, AUB=8 -> 16.

Seçenekler: 14, 16, 18, 20, 24.

Sorunun çözüm adımlarının doğru olduğundan emin olmak için.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(A x B) = s(A) . s(B).

Hints

1

Önce eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları listeleyerek A ve B kümelerini açık şekilde yazın.

2

B kümesinin elemanlarının tamamının A kümesinin içinde olup olmadığını kontrol edin (

B \subset A

durumu).

3

s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)

formülünü kullanın. B, A'nın alt kümesi olduğu için

A \cap B = B

olacaktır.

Practice More

Benzer kümeler için

(A \cap B) \times (B \setminus A)

kümesinin eleman sayısını hesaplayınız.

Alternative Method

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirmek, kümelerin eleman sayılarını görsel olarak tespit etmeyi kolaylaştırır.

Estimated Time:2m 30s

Question 272Question →

Bir kurumda çalışan 50 personelin her biri; İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini konuşabilmektedir. Bu personel grubuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Yalnızca iki dil bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç dili de bilenlerin sayısı $x$ 'tir.
* Yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı, her üç dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu kurumda İngilizce bilen personel sayısı en çok kaçtır?

20

24

26

28

30

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

İngilizce bilen personel sayısı en çok 28'dir.

Kurulan

10x + 3b = 50

denkleminde

x

ve

b

doğal sayı olmalıdır. Bu denklemi sağlayan iki durum vardır:

(x=2, b=10)

ve

(x=5, b=0)

. İngilizce bilenlerin sayısı

s(İ) = 4x + 2b

formülüyle hesaplanır. İlk durumda sonuç 28, ikinci durumda 20 bulunur. En çok istendiği için doğru cevap 28'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeler için değişkenleri tanımla.

Yalnızca bir dil bilenlerin sayısı her bir dil için

a

, yalnızca iki dil bilenlerin sayısı her bir ikili kombinasyon için

b

, her üç dili bilenlerin sayısı

c=x

olsun.

Soruda verilen eşitliklerden yararlanarak bilinmeyen sayısını azaltmak gerekir.

2

Toplam personel sayısı üzerinden genel denklemi kur.

3 tane 'yalnız bir', 3 tane 'yalnız iki' ve 1 tane 'üçlü kesişim' bölgesinin toplamı 50'dir:

3a + 3b + x = 50

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü:

s(İ \cup A \cup F) = 50

.

3

Verilen katsayı ilişkisini denkleme uygula.

Yalnızca İngilizce bilen (

a

) ile üç dili bilen (

x

) arasındaki ilişki

a = 3x

şeklindedir. Denklem:

3(3x) + 3b + x = 50 \Rightarrow 10x + 3b = 50

Tek bilinmeyenli veya iki bilinmeyenli bir Diophant (tam sayı) denklemine ulaşmak için.

4

Tam sayı şartını sağlayan

(x, b)

ikililerini bul.

İnsan sayısı negatif veya kesirli olamayacağı için:
1. Durum:

x=2

için

20 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10

(Geçerli)
2. Durum:

x=5

için

50 + 3b = 50 \Rightarrow 3b = 0 \Rightarrow b = 0

(Geçerli)
Diğer

x

değerleri için

b

tam sayı çıkmaz.

Soruda 'en çok' ifadesi geçtiği için olası tüm durumlar incelenmelidir.

5

İngilizce bilenlerin sayısını (

s(İ)

) formüle et ve maksimum değeri bul.

s(İ) = (\text{Yalnız } İ) + (\text{Yalnız } İ \cap A) + (\text{Yalnız } İ \cap F) + (\text{Üçü})

s(İ) = a + b + b + x = 3x + 2b + x = 4x + 2b

1. Durum (

x=2, b=10

):

4(2) + 2(10) = 8 + 20 = 28

2. Durum (

x=5, b=0

):

4(5) + 0 = 20

En büyük değer 28'dir.

İngilizce kümesi, sadece İngilizce bilenleri değil, İngilizce içeren tüm kesişimleri kapsar.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

Hints

1

Kümeleri çizerek her bir bölgeye değişken verin (Örn: Yalnız bir dil bilenler 'a', yalnız iki dil bilenler 'b', hepsi 'x').

2

Tüm bölgelerin toplamı 50'dir. Verilen 'Yalnız İngilizce = 3 * Hepsi' bilgisini kullanarak denklemi iki bilinmeyenli hale getirin (

10x + 3b = 50

).

3

10x + 3b = 50

denkleminde

x

ve

b

insan sayısı olduğu için negatif olamaz ve tam sayı olmalıdır.

x

'e değer vererek

b

'nin tam sayı çıktığı durumları bulun.

Estimated Time:2m 30s

Question 273Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

n

pozitif tam sayısı için

f(n) - f(n+1) = \frac{1}{n^2+n}

bağıntısını sağlamaktadır.

$f(1) = 1$ olduğuna göre, $f(20)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{19}

\frac{19}{20}

\frac{1}{20}

\frac{21}{20}

\frac{1}{21}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{20}$

Answer

\frac{1}{20}

Verilen bağıntı, her bir adımda fonksiyon değerinin bir miktar azaldığını göstermektedir.

n=1

den

n=19

a kadar olan tüm değişimler toplandığında toplam değişim

1 - 1/20 = 19/20

olur. Başlangıç değeri

f(1)=1

olduğu için, 20. adımdaki değer

1 - 19/20 = 1/20

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayıralım.

\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Teleskopik toplam oluşturarak terimlerin birbirini sadeleştirmesini sağlamak.

2

n

yerine 1'den 19'a kadar olan tam sayıları yazalım.

n=1 \Rightarrow f(1) - f(2) = 1 - \frac{1}{2}

n=2 \Rightarrow f(2) - f(3) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

...

n=19 \Rightarrow f(19) - f(20) = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

f(1)

ve

f(20)

terimlerini içeren bir dizi eşitlik elde etmek.

3

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

f(1) - f(2) + f(2) - f(3) + \dots + f(19) - f(20) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

f(1) - f(20) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

Sol taraftaki ara terimlerin (

f(2), f(3), \dots, f(19)

) ve sağ taraftaki rasyonel terimlerin sadeleşmesi.

4

f(1) = 1

bilgisini kullanarak

f(20)

değerini bulalım.

1 - f(20) = \frac{19}{20} \Rightarrow f(20) = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}

İstenen fonksiyon değerini elde etmek.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirme.

Hints

1

n^2+n

ifadesini

n(n+1)

şeklinde çarpanlarına ayırarak başlayın.

2

1 / [n(n+1)]

ifadesini

1/n - 1/(n+1)

farkı olarak yazıp

n=1, 2, 3...

için değerleri görmeye çalışın.

3

Taraf tarafa toplama yaptığınızda birbirini yok eden (sadeleşen) terimleri fark edin; geriye sadece

f(1), f(20)

ve rasyonel sayıların farkı kalacaktır.

Practice More

Benzer mantığı

f(n+1) = f(n) \cdot n

gibi çarpımsal (faktöriyel) ilişkiler içeren sorularla pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 274Question →

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{a, b, c, d\}$ kümeleri veriliyor.

$A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlanan fonksiyonlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Toplam 64 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısı 24'tür.

Tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı 4'tür.

Görüntü kümesi 3 elemanlı olan her fonksiyon birebirdir.

Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 24'tür.

Show answer & explanation

Answer: Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 24'tür.

Answer

Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 24'tür ifadesi yanlıştır.

Soruda yanlış olan ifade sorulmaktadır. Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinden az olmaması gerekir (

s(A) \ge s(B)

). Verilen soruda

s(A)=3

ve

s(B)=4

olduğundan, A kümesindeki elemanlar B kümesinin tamamını eşleyemez. Dolayısıyla örten fonksiyon sayısı 0'dır. Seçenekte belirtilen 24 sayısı, birebir fonksiyon sayısıdır; örten fonksiyon sayısı değildir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin eleman sayılarını belirle.

s(A) = 3

ve

s(B) = 4

.

Fonksiyon sayısı hesaplamaları için eleman sayıları gereklidir.

2

Örten fonksiyon olma şartını kontrol et.

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı, değer kümesinin eleman sayısından büyük veya ona eşit olmalıdır (

s(A) \geq s(B)

).

Değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı olması gerekir.

3

Verilen durumu analiz et.

3 < 4

olduğu için

A

'daki elemanlar

B

'deki tüm elemanları kapatmaya yetmez.

Güvercin Yuvası İlkesi gereği, 3 eleman en fazla 3 farklı görüntü oluşturabilir, 4 elemanı örtemez.

4

Sonucu belirle.

Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 0'dır. '24'tür' ifadesi yanlıştır.

Yanlış olan seçenek sorulmaktadır.

Key Concept

Örten Fonksiyon Şartı ve Sayma

Hints

1

Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesindeki (B) tüm elemanların kullanılması gerekir.

2

Tanım kümesinde 3 eleman varken, değer kümesindeki 4 elemanın hepsine eşleşme yapılabilir mi?

3

s(A) < s(B)

durumunda örten fonksiyon tanımlanamaz. Sayı 0 olmalıdır.

Practice More

Eleman sayıları

s(A)=4

ve

s(B)=3

olsaydı kaç tane örten fonksiyon tanımlanabilirdi?

Estimated Time:2m 0s

Question 275Question →

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ birim fonksiyon ve $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sabit fonksiyondur.

f(ax^2 + 4x + b - 2) = (c + 1)x^2 + (d - 1)x + 6

g(a + b + c + d) = a + b + c + d

$f(c) = g(b)$ olduğuna göre, $g(1453)$ değeri kaçtır?

-14

-13

-7

8

14

Show answer & explanation

Answer: -14

Answer

Sabit fonksiyon olan

g

fonksiyonunun tüm gerçel sayılar için değeri

-14

olduğundan

g(1453) = -14

olur.

Birim fonksiyon tanımı gereği

f(ax^2 + 4x + b - 2) = ax^2 + 4x + b - 2

olmalıdır. Bu ifadeyi

(c + 1)x^2 + (d - 1)x + 6

ifadesine eşitlediğimizde

a=c+1

,

b=8

ve

d=5

bulunur. Sabit fonksiyon

g(x)=k

olduğundan

k = a+b+c+d

eşitliği yazılır.

f(c)=g(b)

şartından

c=k

olduğu görülür. Elde edilen

c = (c+1)+8+c+5

denklemi çözüldüğünde

c=-14

bulunur. Dolayısıyla sabit fonksiyonun değeri

-14

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

f

birim fonksiyonunun özelliğini kullanarak katsayıları eşitleyin.

a = c + 1

,

d - 1 = 4 \Rightarrow d = 5

,

b - 2 = 6 \Rightarrow b = 8

.

Birim fonksiyon

f(x) = x

kuralına sahiptir; bu nedenle fonksiyonun içindeki ifade dışındaki ifadeye her

x

değeri için eşit olmalıdır.

2

g

sabit fonksiyonunun özelliğini kullanarak sabit değeri (

k

) belirleyin.

g(x) = k

olsun.

g(a + b + c + d) = k = a + b + c + d

.

Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana (

k

) eşler.

3

k

değerini

c

cinsinden yazın.

k = (c + 1) + 8 + c + 5 = 2c + 14

.

a = c + 1

,

b = 8

ve

d = 5

değerleri toplamda yerine yazılmıştır.

4

f(c) = g(b)

eşitliğini kullanarak

c

değerini bulun.

f(c) = c

ve

g(b) = k

olduğundan

c = k

bulunur. Buradan

c = 2c + 14 \Rightarrow c = -14

.

f

birim fonksiyon olduğundan

f(c) = c

,

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(b) = k

olur.

5

Sonucu doğrulayın.

k = c = -14

olduğu için

g(x) = -14

fonksiyonu elde edilir.

g(1453) = -14

bulunur.

Sabit fonksiyonun değeri tanım kümesindeki değişkene bağlı değildir.

Key Concept

Birim fonksiyon (

f(x)=x

) ve sabit fonksiyon (

g(x)=k

) özellikleri ile cebirsel katsayı eşitleme yöntemleri.

Question 276Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki koşullarla tanımlanmıştır:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 5| \le 13 \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x + 2| > 3 \}

Buna göre, $A$ kümesinde bulunup $B$ kümesinde bulunmayan elemanların sayısı ( $s(A \setminus B)$ ) kaçtır?

5

6

7

8

14

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

A kümesi [-4, 9] kapalı aralığındaki tam sayılardır. B kümesi (-∞, -5) ve (1, ∞) aralıklarındaki tam sayılardır. A fark B kümesi, A'nın içinde olup B'nin içinde olmayan elemanlardır; bu da B'nin tümleyeni olan [-5, 1] aralığı ile A'nın kesişimidir. Kesişim [-4, 1] aralığıdır ve bu aralıkta {-4, -3, -2, -1, 0, 1} olmak üzere 6 tam sayı bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.

|2x - 5| \le 13 \implies -13 \le 2x - 5 \le 13 \implies -8 \le 2x \le 18 \implies -4 \le x \le 9

. Yani

A = \{-4, -3, \dots, 9\}

.

Mutlak değerli eşitsizlik

|u| \le a \iff -a \le u \le a

kuralı uygulanır.

2

B kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.

|x + 2| > 3 \implies x + 2 > 3 \text{ veya } x + 2 < -3 \implies x > 1 \text{ veya } x < -5

.

Mutlak değerli eşitsizlik

|u| > a \iff u > a \text{ veya } u < -a

kuralı uygulanır.

3

A \setminus B

kümesini bulmak için

A

'da olup

B

'de olmayan (yani

B'

kümesindeki) elemanları belirle.

x \in A

ve

x \notin B

olmalıdır.

x \notin B \implies |x + 2| \le 3 \implies -3 \le x + 2 \le 3 \implies -5 \le x \le 1

.

Fark kümesi tanımı gereği, elemanlar A kümesinde olmalı ancak B kümesinin koşulunu sağlamamalıdır.

4

Her iki koşulu da sağlayan tam sayıların kesişimini al ve say.

A = [-4, 9]

ve

B' = [-5, 1]

aralıklarının kesişimi

[-4, 1]

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar:

\{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}

. Toplam eleman sayısı 6'dır.

İki aralığın ortak elemanları çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Küme İşlemleri

Hints

1

Önce

A

kümesinin elemanlarını belirleyen eşitsizliği çözerek aralığı bulunuz.

2

A \setminus B

kümesi,

A

kümesinin elemanlarından

B

kümesine dahil OLANLARIN çıkarılmasıyla elde edilir. Yani

A

ve

B

'nin tümleyeninin kesişimine bakmalısınız.

3

B

'nin tümleyeni

|x+2| \le 3

eşitsizliğidir. Bu aralık ile

A

'nın aralığının ortak tam sayılarını sayınız.

Practice More

Benzer mantıkla, iki mutlak değerli eşitsizliğin birleşiminin tam sayı eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde A kümesini mavi, B kümesini kırmızı ile çizerek, sadece mavi olup kırmızı olmayan bölgeyi görsel olarak tespit edebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 277Question →

$A = \{10, 20, 30\}$ ve $B = \{30, 40, 50, 60\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi ( $A \cup B$ ) taralı bölge ile gösterilmiştir. Buna göre, $A \cup B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

\{30\}

\{10, 20, 40, 50, 60\}

\{10, 20, 30\}

\{30, 40, 50, 60\}

Show answer & explanation

Answer: $\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}$

Answer

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

kümesi,

A

ve

B

kümelerinin tüm elemanlarının birleşimini temsil eder.

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümenin de elemanı olan veya sadece birinin elemanı olan tüm nesneleri içerir. Ortak olan 30 elemanı bir kez yazılarak tüm elemanlar

\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

şeklinde listelenir.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{10, 20, 30\}

ve

B = \{30, 40, 50, 60\}

Birleşim işlemini gerçekleştirmek için önce küme elemanlarını bilmemiz gerekir.

2

Ortak elemanları belirleyelim.

Ortak eleman:

30

Birleşim kümesinde her eleman yalnızca bir kez yazılır.

3

Tüm elemanları birleştirerek

A \cup B

kümesini oluşturalım.

A \cup B = \{10, 20, 30, 40, 50, 60\}

Birleşim kümesi (

A \cup B

), her iki kümede bulunan tüm farklı elemanların toplandığı kümedir.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi

Hints

1

Birleşim kümesi (

\\cup

), her iki kümede gördüğünüz tüm elemanların 'torbaya atılmış' halidir.

2

Ortak olan elemanları (bu soruda 30) birleşim kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız yeterlidir.

3

Venn şemasında taralı olan tüm alanın içindeki sayıları sırasıyla listeleyin: 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Practice More

Kesişim kümesini (

A \cap B

) bulmak için sadece her iki dairenin ortak (üst üste binen) bölgesindeki elemanlara odaklanmalısın.

Estimated Time:45s

Question 278Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir $f$ fonksiyonu veriliyor.

Her $x \in A$ için $(f \circ f)(x) = x$ eşitliği sağlanmaktadır.

$f(1) = 2$ ve $f(3) \neq 3$ olduğuna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

4

6

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 farklı fonksiyon tanımlanabilir

Verilen

(f \circ f)(x) = x

koşulu, fonksiyonun elemanları ya sabit bıraktığını ya da ikili gruplar halinde birbirine dönüştürdüğünü gösterir.

f(1)=2

olduğundan

1 \leftrightarrow 2

eşleşmesi kesindir.

f(3) \neq 3

olduğundan 3 sayısı 4, 5 veya 6'dan biriyle eşleşmelidir (3 seçenek). 3'ün eşleşmesi yapıldıktan sonra geriye kalan 2 eleman, ya oldukları gibi kalır (1 durum) ya da kendi aralarında yer değiştirirler (1 durum), toplamda 2 alt durum oluşur. Çarpma kuralı ile

3 \times 2 = 6

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun genel yapısını analiz et

(f \circ f)(x) = x

şartı, fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğunu (

f = f^{-1}

) gösterir. Bu durumda elemanlar ya sabit kalmalı (

f(a)=a

) ya da ikili olarak birbirine dönüşmelidir (

f(a)=b

ise

f(b)=a

).

Birim fonksiyon özelliği ve ters fonksiyon tanımı gereği.

2

Verilen kısıtlamaları uygula (

f(1)=2

)

f(1)=2

ise, involüsyon özelliği gereği

f(2)=1

olmak zorundadır. Böylece

\{1, 2\}

elemanları kendi aralarında bir grup oluşturur ve diğer elemanlarla eşleşemezler.

f(f(1)) = 1 \implies f(2) = 1

.

3

Kalan elemanlar ve

f(3) \neq 3

kısıtlamasını incele

Geriye

\{3, 4, 5, 6\}

kümesi kalır.

f(3) \neq 3

olduğundan, 3 sayısı sabit kalamaz; bu kümedeki başka bir elemanla eşleşmek zorundadır (yani 4, 5 veya 6 ile).

Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır ve şartlar sağlanmalıdır.

4

Olası durumları say (Kombinatorik analiz)

Durum 1: 3, 4 ile eşleşirse (

f(3)=4, f(4)=3

): Kalan

\{5, 6\}

ya sabit kalır (

f(5)=5, f(6)=6

) ya da yer değiştirir (

f(5)=6, f(6)=5

). (2 durum)
Durum 2: 3, 5 ile eşleşirse: Kalan

\{4, 6\}

için yine 2 durum vardır.
Durum 3: 3, 6 ile eşleşirse: Kalan

\{4, 5\}

için yine 2 durum vardır.

3'ün seçebileceği 3 farklı partner vardır ve her seçimden sonra kalan 2 eleman için 2 olasılık bulunur.

5

Toplam fonksiyon sayısını hesapla

3 \text{ (partner seçimi)} \times 2 \text{ (kalanların durumu)} = 6

farklı fonksiyon.

Saymanın çarpma kuralı.

Key Concept

İnvolüsyon (Tersi Kendisine Eşit) Fonksiyonlar

Hints

1

(f \circ f)(x) = x

olması,

f

fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğunu gösterir. Yani

f(a)=b

ise mutlaka

f(b)=a

olmalıdır.

2

f(1)=2

olduğu için 1 ve 2 birbirine kilitlenmiştir. Geriye kalan

\{3, 4, 5, 6\}

kümesini düşünün. 3 sayısı kendisine gidemediğine göre, başka bir elemanla 'partner' olmalıdır.

3

3'ün partneri olarak 4, 5 veya 6'yı seçin. Örneğin 3 ile 4 eşleşirse, geriye kalan 5 ve 6 için kaç farklı durum oluşur? (İkisi de sabit kalabilir veya ikisi yer değiştirebilir).

Estimated Time:3m 0s

Question 279Question →

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x^2 < 70 \}

şeklinde tanımlanan $A$ kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\{4, 5, 6, 7, 8\}

\{-8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8\}

\{16, 25, 36, 49, 64\}

\{-9, -8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}

Show answer & explanation

Answer: \{-8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8\}

Answer

Karesi 10 ile 70 arasında olan tüm tam sayıların listelendiği

\{-8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesidir.

Verilen

10 < x^2 < 70

eşitsizliğinde

x

bir tam sayıdır. Karesi 10'dan büyük ve 70'den küçük olan pozitif tam sayılar

4, 5, 6, 7

ve

8

'dir. Tam sayılar kümesi negatifleri de içerdiğinden ve

(-n)^2 = n^2

olduğundan, bu sayıların negatifleri olan

-4, -5, -6, -7

ve

-8

de koşulu sağlar. Tüm bu elemanlar bir araya getirildiğinde doğru listeleme elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliği analiz et.

10 < x^2 < 70

koşulunu sağlayan

x

tam sayılarını bulmalıyız.

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümenin elemanlarını belirlemek için temel kuraldır.

2

Pozitif tam sayıları belirle.

4^2=16

,

5^2=25

,

6^2=36

,

7^2=49

,

8^2=64

. Pozitif değerler

\{4, 5, 6, 7, 8\}

.

3^2=9

(küçük) ve

9^2=81

(büyük) olduğu için bu aralık dışındadırlar.

3

Negatif tam sayıları belirle.

(-4)^2=16

,

(-5)^2=25

,

(-6)^2=36

,

(-7)^2=49

,

(-8)^2=64

. Negatif değerler

\{-4, -5, -6, -7, -8\}

.

Herhangi bir tam sayının karesi daima pozitif olduğundan, negatif sayıların kareleri de verilen aralığa düşebilir.

4

Liste yöntemiyle birleştir.

A = \{-8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8\}

.

Küme elemanları, her biri aralarında virgül olacak şekilde tek bir küme içinde listelenir.

Key Concept

Küme ortak özellik yönteminden liste yöntemine geçişte negatif sayıların kareleri ve tam sayı tanımı dikkate alınmalıdır.

Hints

1

x

bir tam sayı olduğu için hem pozitif hem de negatif değerleri düşünmelisin.

2

x^2 > 10

olması için

|x|

en az kaç olmalıdır? Benzer şekilde

x^2 < 70

için üst sınırı belirle.

3

3^2=9

ve

4^2=16

olduğunu hatırla. Bu durumda

x

değeri 4'ten başlamalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu

15 < |2x - 1| < 30

koşulu için çözerek küme gösterimi becerini pekiştirebilirsin.

Estimated Time:1m 15s

Question 280Question →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programında, personelin tamamı 'İş Sağlığı ve Güvenliği' veya 'Etkili İletişim' seminerlerinden en az birine katılmıştır. İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 3 katıdır. Sadece İş Sağlığı ve Güvenliği seminerine katılanların sayısı, sadece Etkili İletişim seminerine katılanların sayısının 4 katıdır. Her iki seminere de katılan personel sayısı 6 olduğuna göre, bu programa katılan toplam personel sayısı kaçtır?

48

54

60

66

72

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Toplam personel sayısı 66'dır.

Toplam personel sayısı, sadece bir seminere katılanlar ile her iki seminere katılanların toplamıdır. Denklem çözümünden sadece Etkili İletişim seminerine katılanlar 12, sadece İş Sağlığı seminerine katılanlar 48 kişi bulunur. Her ikisine katılan 6 kişi ile birlikte toplam

48 + 12 + 6 = 66

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

İş Sağlığı ve Güvenliği kümesi

A

, Etkili İletişim kümesi

B

olsun. Sadece

B

kümesinde olanlara (

B \setminus A

)

k

diyelim. Verilen bilgiye göre sadece

A

kümesinde olanlar (

A \setminus B

)

4k

olur. Kesişim (

A \cap B

) ise 6'dır.

Sorudaki kat ilişkisini matematiksel ifadelere dökmek için.

2

Her bir kümenin eleman sayısını

k

cinsinden ifade et.

s(A) = (4k) + 6

ve

s(B) = k + 6

.

Küme eleman sayıları, 'sadece o kümeye ait olanlar' ve 'kesişim' toplamından oluşur.

3

Verilen kat ilişkisine göre eşitliği kur ve

k

değerini çöz.

s(A) = 3 \cdot s(B)

olduğu için

4k + 6 = 3(k + 6)

denklemi kurulur.

4k + 6 = 3k + 18 \Rightarrow k = 12

.

Bilinmeyen

k

değerini bulmak için problemdeki temel ilişkiyi kullanmak gerekir.

4

Toplam personel sayısını (birleşim kümesi) hesapla.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4k + k + 6 = 5k + 6

.

k=12

için:

5(12) + 6 = 60 + 6 = 66

.

Sonuç için tüm alt grupların toplamını bulmak.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi Formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

veya ayrık bölgelerin toplamı.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More