Bir endüstri mühendisi, bir makinenin arızalar arası geçen süresini T sürekli rastgele değ… — KPSS İstatistik

Bir endüstri mühendisi, bir makinenin arızalar arası geçen süresini $T$ sürekli rastgele değişkeni ile modellemektedir. $T$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(t) = \begin{cases} \frac{1}{16} t^2 e^{-t/2}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{cases}

$T$ 'nin kümülatif dağılım fonksiyonu $F(t)$ olmak üzere, mühendis bir benzetim (simülasyon) çalışması için $Y = -3 \ln[1 - F(T)]$ şeklinde yeni bir $Y$ rastgele değişkeni tanımlamaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) kaçtır?

A
1
B
$\frac{1}{3}$
3Answer
D
$3 \ln 2$
E
6

Answer

Doğru cevap 3'tür.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre, sürekli bir T rastgele değişkeni için kümülatif dağılım fonksiyonu olan F(T) her zaman (0,1) aralığında Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Bu nedenle 1 - F(T) ifadesi de Düzgün dağılımlıdır. Y = -3 ln(V) dönüşümü için beklenen değer integrali E[Y] = \int_{0}^{1} -3 \ln(v) dv hesaplandığında sonuç 3 çıkar. (Alternatif olarak, -ln(V)'nin ortalaması 1 olan Üstel dağılıma dönüştüğü bilinerek de doğrudan 3*1=3 bulunabilir).

Step-by-Step Solution

T sürekli bir rastgele değişken olduğundan Olasılık İntegral Dönüşümü teoreminin uygulanması.

U = F(T) değişkeninin (0,1) aralığında standart düzgün dağılıma (Uniform) sahip olduğu belirlenir.

Herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu kendi değişkenine uygulandığında her zaman (0,1) aralığında düzgün dağılım üretir.

Düzgün dağılımın simetri özelliğinden faydalanarak 1 - F(T) ifadesinin dağılımının bulunması.

V = 1 - F(T) ifadesinin de (0,1) aralığında standart düzgün dağılıma sahip olduğu görülür.

U ~ U(0,1) ise simetriden dolayı 1 - U ~ U(0,1) olur.

Y = -3 ln(V) değişkeninin beklenen değerinin integral yoluyla hesaplanması.

E[Y] = \int_{0}^{1} -3 \ln(v) dv = -3 [v \ln v - v]_0^1 = 3 elde edilir.

Sürekli bir rastgele değişkenin fonksiyonunun beklenen değeri E[g(V)] = \int g(v)f(v)dv formülü ile hesaplanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü

Alternative Method

-ln(U) dönüşümünün parametresi 1 olan standart bir Üstel (Exponential) dağılım ürettiği bilgisini doğrudan kullanabilirsiniz. Buna göre -3 ln(U) dağılımı, beklenen değeri 3 olan bir Üstel dağılım olur.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic