Olasılık İntegral Dönüşümü Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir veri analisti, belirli bir algoritmada kullanmak üzere sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin dağılımına uygun sentetik veriler oluşturacaktır. Sisteme tanımlanan rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 < x < 4 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Analist, verileri türetmek için olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) tekniğini kodlamıştır. Algoritmanın rastgele sayı üretecinden çektiği standart düzgün dağılımlı değer $u = \frac{5}{12}$ olarak gerçekleşmiştir.

Buna göre, algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik $x$ veri noktası kaçtır?

3

2.5

\sqrt{5}

-3

1

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik veri noktası 3'tür.

Doğru yanıt olan

3

değeri,

X

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = (x^2 - 4) / 12

hesaplandıktan sonra bu fonksiyonun verilen

u = 5/12

değerine eşitlenmesiyle elde edilir. Denklemden çıkan

x^2 = 9

sonucunda, değişkenin

2 < x < 4

aralığındaki tanımı gereği pozitif olan

3

değeri alınır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun

2

alt sınırından

x

'e kadar integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

bulunur.

F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2 - 4}{12}

Ters dönüşüm yöntemi doğrudan PDF üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) üzerinden çalışır.

2

Elde edilen

F(x)

fonksiyonu, simülasyondan üretilen

u

rassal değerine eşitlenir.

\frac{x^2 - 4}{12} = \frac{5}{12}

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre

X = F^{-1}(U)

bağıntısı geçerlidir.

3

Elde edilen denklem

x

için çözülür ve fonksiyonun tanım aralığına uygun olan kök belirlenir.

x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9 \implies x = 3

X

'in tanım aralığı

2 < x < 4

olduğu için negatif kök olan

-3

elenir ve geçerli değer

3

olarak onaylanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Estimated Time:2m 0s

Question 2Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, ürettikleri hassas bir sensörün ölçüm sapmalarını sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu olan $F(x)$ , tanımlı olduğu aralıkta kesin artan ve süreklidir.

Mühendis, bu sapmaları standartlaştırmak amacıyla

K

adlı yeni bir performans indeksi tanımlamıştır:

K = 4 \left( F(X) - \frac{1}{2} \right)^2

Buna göre, $K$ performans indeksinin olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_K(k)$ ), $0 < k < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

f_K(k) = \frac{1}{4\sqrt{k}}

f_K(k) = \frac{1}{\sqrt{k}}

f_K(k) = 1

f_K(k) = 2k

Show answer & explanation

Answer: $f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}$

Answer

Doğru yanıt

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

fonksiyonunu veren seçenektir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre

U = F(X)

değişkeni

(0,1)

aralığında Uniform dağılıma sahiptir. İfadeyi

K = (2U-1)^2

şeklinde yazıp

P(K \le k)

birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) araştırıldığında,

U

'nun sınırları

\frac{1-\sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1+\sqrt{k}}{2}

olarak bulunur.

U

'nun dağılımı

(0,1)

aralığında düzgün olduğu için bu bölgenin olasılığı, üst ve alt sınırlar arasındaki uzunluğa, yani

\sqrt{k}

'ya eşittir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

F_K(k) = \sqrt{k}

fonksiyonunun türevi alındığında

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulayın.

X

sürekli rastgele değişken olduğundan,

U = F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında sürekli düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir (

U \sim U(0,1)

).

Teoreme göre her sürekli dağılımın kendi birikimli dağılım fonksiyonundan (CDF) geçirilmesi Uniform(0,1) üretir.

2

K

indeksini

U

cinsinden ifade edin.

K = 4 \left( U - \frac{1}{2} \right)^2 = \left( 2U - 1 \right)^2

Değişken dönüşüm işlemlerini kolaylaştırmak için ifadeyi tam kare formuna getirmeliyiz.

3

K

'nın birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

P(K \le k)

olarak kurup

U

'ya göre eşitsizliği çözün.

P((2U - 1)^2 \le k) \implies -\sqrt{k} \le 2U - 1 \le \sqrt{k} \implies \frac{1 - \sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1 + \sqrt{k}}{2}

Karesel bir dönüşüm (bire-bir olmayan) olduğu için mutlak değer kuralına dikkat ederek

U

'nun alt ve üst sınırlarını belirlemek zorundayız.

4

U \sim U(0,1)

bilgisini kullanarak CDF değerini hesaplayın.

U

'nun olasılık yoğunluğu

1

olduğu için, bu aralıktaki olasılık üst ve alt sınırın farkıdır:

F_K(k) = \frac{1 + \sqrt{k}}{2} - \frac{1 - \sqrt{k}}{2} = \sqrt{k}

.

Uniform(0,1) dağılımında

P(a \le U \le b) = b - a

kuralı geçerlidir.

5

K

'nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) elde etmek için CDF'nin

k

'ya göre türevini alın.

f_K(k) = \frac{d}{dk} F_K(k) = \frac{d}{dk} (k^{1/2}) = \frac{1}{2} k^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Bire-bir Olmayan Değişken Dönüşümleri

Alternative Method

Jakobiyen tekniği kullanılabilir:

k = 4(u-1/2)^2

fonksiyonu

u=1/2

noktasında simetriktir ve iki farklı ters fonksiyonu vardır:

u_1 = \frac{1-\sqrt{k}}{2}

ve

u_2 = \frac{1+\sqrt{k}}{2}

. Her bir dal için Jakobiyen (türevlerin mutlak değeri) hesaplandığında

|du_1/dk| = |du_2/dk| = \frac{1}{4\sqrt{k}}

elde edilir.

f_K(k) = f_U(u_1)|du_1/dk| + f_U(u_2)|du_2/dk|

formülünden

1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} + 1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 3Question →

Bir yöneylem araştırmacısı, bir tedarik zinciri ağındaki belirli bir teslimatın gecikme süresini (gün cinsinden) modelleyen sürekli bir $X$ rastgele değişkeni için aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanmaktadır:

f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Araştırmacı, bir simülasyon çalışması kapsamında, $(0,1)$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip bir $U$ rastgele değişkeninden yararlanarak ters dönüşüm (olasılık integral dönüşümü) yöntemiyle $X$ değişkenine ait rassal değerler üretmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken dönüşüm denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

1 - \sqrt{1-U}

1 + \sqrt{1-U}

1 - \frac{U}{2}

\sqrt{1-U}

2U - U^2

Show answer & explanation

Answer: $1 - \sqrt{1-U}$

Answer

Araştırmacının kullanması gereken doğru dönüşüm denklemi

1 - \sqrt{1-U}

ifadesidir.

Ters dönüşüm yönteminde, rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bulunur ve bu fonksiyon standart düzgün dağılımlı

U

değişkenine eşitlenerek

X

yalnız bırakılır.

f(x) = 2(1-x)

fonksiyonunun

0

'dan

x

'e integrali alındığında

F(x) = 2x - x^2

elde edilir. Dönüşüm gereği

U = 2X - X^2

eşitliği kurularak tam kareye tamamlama yöntemiyle

(X-1)^2 = 1-U

denklemine ulaşılır.

X

'in tanım kümesi

(0,1)

aralığı olduğu için denklemin eksi işaretli kökü olan

X = 1 - \sqrt{1-U}

doğru dönüşüm formülüdür.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = \left[2t - t^2\right]_{0}^{x} = 2x - x^2

Ters dönüşüm yönteminin temeli, rastgele değişkenin CDF'ini

(0,1)

aralığındaki düzgün dağılıma eşitlemektir.

2

Elde edilen birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımlı

U

rastgele değişkenine eşitleyin.

U = 2X - X^2

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre

F(X) \sim Uniform(0,1)

'dir.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemde

X

değişkenini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeler yapın.

X^2 - 2X + U = 0 \implies X^2 - 2X + 1 = 1 - U \implies (X - 1)^2 = 1 - U

X = F^{-1}(U)

ters fonksiyonunu elde etmek için cebirsel çözüm gereklidir.

4

Her iki tarafın karekökünü alarak denklemin köklerini bulun ve tanım aralığına uygun olanı seçin.

X - 1 = \pm\sqrt{1-U} \implies X = 1 \pm \sqrt{1-U}

X

'in

0 < X < 1

aralığında tanımlı olması nedeniyle, sonucu

(1,2)

aralığına taşıyacak olan pozitif kök elenmeli,

X = 1 - \sqrt{1-U}

seçilmelidir.

Key Concept

Ters Dönüşüm (Inverse Transform) Yöntemi ile rassal sayı üretimi, bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) tersinin alınarak

X = F^{-1}(U)

eşitliğinin kullanılması esasına dayanır.

Question 4Question →

Bir kamu kurumunun proje değerlendirme birimi, belirli bir ölçekteki projelerin tamamlanma süresini (yıl cinsinden) $0 < x < 1$ aralığında tanımlı $f(x) = 2x$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Kurumun risk yönetimi prosedürleri gereği, ilk 6 ay ( $0.5$ yıl) içinde tamamlanamayan projeler için gecikme maliyetlerini tahmin etmek amacıyla bir simülasyon çalışması yapılacaktır.

Uzman, projenin ilk 6 ayda tamamlanamadığı bilindiğine göre ( $X > 0.5$ ), geri kalan projelerin tamamlanma süresini simüle etmek için Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemini kullanacaktır.

Standart bir $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$ rastgele değişkeni üretildiğine göre, aranan koşullu $X$ simülasyon değerlerini elde etmek için kullanılması gereken standart ters dönüşüm fonksiyonu ( $X = F^{-1}(U)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

\frac{\sqrt{3U}}{2}

\frac{\sqrt{U + 1}}{2}

\sqrt{U + 0.25}

\frac{\sqrt{U} + 1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}$

Answer

Doğru dönüşüm

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

ifadesini içeren seçenektir.

Olasılık integral (ters) dönüşümünde simülasyon yapılacak bölge için önce koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) bulunur.

X > 0.5

koşulu altında alan

P(X > 0.5) = 0.75

olduğundan, yeni PDF

g(x) = \frac{2x}{0.75} = \frac{8x}{3}

olur. Bu fonksiyonun

0.5

alt sınırı ile birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplandığında

G(x) = \frac{4x^2 - 1}{3}

elde edilir. Ters dönüşüm metodu gereği

G(X) = U

eşitliğinde

X

yalnız bırakılarak çözüldüğünde

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X > 0.5

durumu için koşullu olasılığı (paydayı) hesaplamak.

P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} 2x dx = x^2 \Big|_{0.5}^{1} = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulabilmek için öncelikle koşul olayının gerçekleşme olasılığına ihtiyaç vardır.

2

X > 0.5

kısıtı altında yeni koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(x)

) türetmek.

g(x) = \frac{f(x)}{P(X > 0.5)} = \frac{2x}{3/4} = \frac{8x}{3}

(Sadece

0.5 < x < 1

aralığı için geçerlidir)

Simülasyon sadece

X > 0.5

olan projeler için yapılacağından, ilgilenilen bölgedeki yeni PDF belirlenmelidir.

3

Koşullu birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(x)

) hesaplamak.

G(x) = \int_{0.5}^{x} \frac{8t}{3} dt = \frac{4t^2}{3} \Big|_{0.5}^{x} = \frac{4x^2}{3} - \frac{4(0.5)^2}{3} = \frac{4x^2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4x^2 - 1}{3}

Olasılık integral (ters) dönüşümü, birikimli dağılım fonksiyonunun Uniform dağılıma eşitlenmesine (G(X) = U) dayanır.

4

G(X) = U

eşitliğini çözerek

X

'i yalnız bırakmak ve ters dönüşümü elde etmek.

\frac{4X^2 - 1}{3} = U \implies 4X^2 - 1 = 3U \implies 4X^2 = 3U + 1 \implies X = \sqrt{\frac{3U + 1}{4}} = \frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

Simülasyon algoritmasında üretilen

U(0,1)

rastgele sayılarından istenen dağılıma sahip

X

değerlerini elde etmek için

F^{-1}(U)

fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi) ve Koşullu Olasılık Dağılımları

Alternative Method

Daha pratik ve ileri düzey bir yaklaşım: Orijinal dağılımın CDF'i

F(x) = x^2

olduğundan standart ters dönüşüm

X = \sqrt{V}

şeklindedir (

V \sim U(0,1)

). Soru bizden

X > 0.5

olmasını istemektedir.

X > 0.5 \implies \sqrt{V} > 0.5 \implies V > 0.25

olmalıdır. Demek ki

V

rastgele değişkenini

(0.25, 1)

aralığından tekdüze (uniform) seçmeliyiz. Standart bir

U \sim U(0,1)

değerini bu aralığa eşlersek:

V = 0.25 + 0.75U = \frac{1 + 3U}{4}

olur. Bunu orijinal ters dönüşüme yazarsak:

X = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{3U+1}{4}} = \frac{\sqrt{3U+1}}{2}

bulunur.

Estimated Time:3m 30s

Question 5Question →

Meteoroloji Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir bölgedeki yıllık maksimum rüzgar hızlarının limit aşım değerlerini sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ 'tir. Uzman, aşırı rüzgar hızlarının dönüş periyotlarını ve risk analizlerini yapabilmek için olasılık integral dönüşümünden yararlanarak yeni bir $Y$ rastgele değişkenini aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

Y = -4 \ln(1 - F(X))

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E(Y)$ ve varyansı $Var(Y)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

E(Y) = \frac{1}{4}, \quad Var(Y) = \frac{1}{16}

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 4

E(Y) = -4 \ln(0.5), \quad Var(Y) = 16 \ln^2(0.5)

E(Y) = 1, \quad Var(Y) = 1

Show answer & explanation

Answer: $E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16$

Answer

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

seçeneği doğrudur.

Sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

F(X)

standart düzgün dağılıma (

U(0,1)

) sahiptir.

1 - F(X)

dönüşümü de yapısal olarak aynı sınırları koruduğu için o da

U(0,1)

dağılır. İfadeyi

U = 1 - F(X)

olarak tanımladığımızda,

Y = -4 \ln(U)

olur. Bu dönüşüm, ortalaması 4 olan bir Üstel (Exponential) dağılım yaratır. Üstel dağılımın özellikleri gereği

E(Y) = 4

ve varyansı

Var(Y) = 4^2 = 16

'dır.

Step-by-Step Solution

1

F(X)

'in dağılımını belirleme

F(X) \sim U(0,1)

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu kendi üzerinden değerlendirildiğinde her zaman

(0,1)

aralığında standart düzgün dağılıma (Uniform) uyar.

2

1 - F(X)

ifadesinin dağılımını bulma

U = 1 - F(X) \sim U(0,1)

Eğer bir değişken

(0,1)

aralığında düzgün dağılıyorsa, o değişkeni 1'den çıkarmak dağılımı değiştirmez (simetri özelliği).

3

Y = -4 \ln(U)

değişkeninin dağılımını türetme

P(Y \leq y) = 1 - e^{-y/4}

Birikimli dağılım yöntemiyle (CDF):

P(-4 \ln U \leq y) = P(\ln U \geq -y/4) = P(U \geq e^{-y/4})

.

U \sim U(0,1)

olduğu için

P(U \geq k) = 1 - k

'dır. Bu da bize

1 - e^{-y/4}

fonksiyonunu verir.

4

Elde edilen dağılımın beklenen değerini ve varyansını hesaplama

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

Bulunan CDF,

\lambda = 1/4

oran parametresine sahip (veya

\theta = 4

ortalamalı) bir Üstel (Exponential) dağılımdır. Üstel dağılımda ortalama

1/\lambda

, varyans ise

1/\lambda^2

olarak hesaplanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Question 6Question →

Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, poliçe sahiplerinin hasar bildirim sürelerini modellemek için sürekli bir $X$ rastgele değişkeni tanımlamıştır. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) $F_X(x)$ olarak verilmiş olup, kesinlikle artan ve sürekli bir fonksiyondur.

Birimin yaptığı yeni bir risk modellemesinde,

X

değişkeni kullanılarak

V = 3 \cdot F_X(X) + 1

ve

W = -2 \ln(1 - F_X(X))

şeklinde iki yeni performans göstergesi tanımlanmıştır.

Buna göre; $V$ değişkeninin varyansı, $W$ değişkeninin beklenen değeri ve $P(V = 2.5)$ nokta olasılığı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{3}{4}

,

2

ve

0

\frac{1}{4}

,

2

ve

0

\frac{3}{4}

,

2 \ln 2

ve

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

,

2

ve

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

,

0

ve

0

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{4}$ , $2$ ve $0$

Answer

\frac{3}{4}

,

2

ve

0

değerlerini veren seçenektir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre sürekli bir

X

değişkeni için

F_X(X) \sim Uniform(0,1)

'dir. Bu bilgi kullanılarak

V = 3U + 1

değişkeninin varyansı doğrusal dönüşüm kurallarıyla

9 \cdot (1/12) = 3/4

olarak bulunur.

W = -2\ln(1-U)

değişkeninin beklenen değeri ters dönüşüm prensibiyle parametresi

\lambda=1/2

olan üstel dağılıma eşit olduğundan (veya integral ile)

2

bulunur. Sürekli bir rastgele değişkenin tek bir noktadaki olasılığı sıfır olduğundan

P(V=2.5) = 0

'dır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulama.

U = F_X(X)

dönüşümünün

(0,1)

aralığında standart sürekli düzgün dağılıma (

U \sim Uniform(0,1)

) sahip olduğu belirlenir.

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F_X

onun artan birikimli dağılım fonksiyonudur.

2

V

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(U) = \frac{1}{12}

olduğundan,

Var(V) = Var(3U + 1) = 3^2 \cdot Var(U) = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4}

bulunur.

Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı

Var(aX+b) = a^2 Var(X)

şeklindedir.

3

W

değişkeninin beklenen değerini bulma.

W = -2 \ln(1-U)

ifadesi ters dönüşüm (inverse transform) yöntemiyle

\lambda = 1/2

olan üstel dağılımı (Exponential) ifade eder. Beklenen değer

E[W] = \frac{1}{1/2} = 2

olarak bulunur. (Alternatif olarak

\int_0^1 -2\ln(1-u)du

integrali çözülerek

2

elde edilir).

W

'nin dağılım özelliklerini veya beklenen değer integralini kullanarak sonuca ulaşmak.

4

P(V = 2.5)

olasılığını belirleme.

P(V = 2.5) = 0

olarak bulunur.

V

rastgele değişkeni sürekli bir dağılıma (

Uniform(1,4)

) sahip olduğundan, sürekli değişkenlerde belirli bir tek noktadaki olasılık değeri her zaman sıfırdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Question 7Question →

Bir kamu kurumu çağrı merkezine gelen ardışık iki çağrı arasındaki süre (dakika cinsinden), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan sürekli bir

X

rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

Kurumun sistem analistleri, çağrı yoğunluğunu analiz etmek amacıyla bir simülasyon yazılımı kullanmaktadır. Yazılım, $(0,1)$ aralığında standart düzgün dağılımdan rastgele sayılar ( $u$ ) üreterek, Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemiyle bu çağrı sürelerini simüle etmektedir.

Buna göre, yazılımın ürettiği $u = 0.64$ değeri için simüle edilecek çağrı süresi ( $x$ ) kaç dakikadır?

0.20

0.40

0.64

0.68

1.60

Show answer & explanation

Answer: $0.40$

Answer

Simüle edilecek çağrı süresi

0.40

dakikadır.

Doğru yanıt

0.40

'tır. Ters dönüşüm yöntemi simülasyonlarında öncelikle sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu bulunur (

F(x) = 2x - x^2

). Sonrasında üretilen düzgün dağılımlı rastgele sayı bu fonksiyona eşitlenir (

F(x) = u

) ve

x

değişkeni yalnız bırakılır. Bu denklem çözüldüğünde

x = 1 \pm \sqrt{1-u}

kökleri elde edilir. Rastgele değişkenin tanım aralığı (

0 < x < 1

) dikkate alındığında sadece eksi işaretli olan

x = 1 - \sqrt{1-u}

kökü geçerli olur. Simülasyon yazılımı tarafından üretilen

u = 0.64

rastgele sayısı bu doğru formülde yerine konulduğunda

x = 1 - 0.60 = 0.40

simülasyon sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

F(x)

) hesaplayın.

F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = [2t - t^2]_{0}^{x} = 2x - x^2

Olasılık integral dönüşümü yönteminde,

U = F(X)

bağıntısı gereği ters fonksiyon işleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu üzerinden yapılması gerekir.

2

Ters dönüşüm yöntemini uygulayarak

x

'i verilen

u

cinsinden ifade edin.

F(x) = u \Rightarrow 2x - x^2 = u \Rightarrow x^2 - 2x + u = 0

. İkinci dereceden denklemin kök formülü kullanıldığında:

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4u}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-u}

bulunur.

Simülasyon modelinde üretilen her bir

u

rastgele değeri için, o dağılıma uygun

x

simülasyon değerini verecek ters fonksiyonun (

x = F^{-1}(u)

) matematiksel olarak elde edilmesi gerekir.

3

Değişkenin tanım aralığını dikkate alarak doğru kökü seçin ve verilen

u = 0.64

değerini formülde yerine koyun.

X

değişkeni

0 < x < 1

aralığında tanımlı olduğu için

x = 1 - \sqrt{1-u}

kökü alınmalıdır.

u = 0.64

değeri yerine konulduğunda:

x = 1 - \sqrt{1 - 0.64} = 1 - \sqrt{0.36} = 1 - 0.60 = 0.40

elde edilir.

Matematiksel olarak denklem iki farklı kök üretir ancak aranan değer rastgele değişkenin geçerli sınırları içinde kalmalıdır. Artılı kök seçilirse sonuç 1'den büyük çıkar ve bu durum olasılık kurallarına aykırıdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi ile Simülasyon)

Question 8Question →

Bir siber güvenlik uzmanı, kritik bir ağa yapılan yetkisiz erişim girişimlerinin sistem tarafından tespit edilme süresini (saniye cinsinden) analiz etmektedir. Tespit süresini modelleyen sürekli $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 \le x \le 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Uzman, sistemin stres kapasitesini ölçmek amacıyla sentetik veriler üretmek için bir simülasyon programı hazırlamaktadır. Bu programda $(0, 1)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahip rastgele $u$ sayıları üretilmektedir.

Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi) prensibi dikkate alındığında, üretilen $u$ sayılarından simülasyona ait $x$ tespit sürelerini elde etmek için aşağıdaki matematiksel dönüşümlerden hangisi uygulanmalıdır?

\sqrt{12u + 4}

\sqrt{12u}

6u

-\sqrt{12u + 4}

\frac{u^2 - 4}{12}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{12u + 4}$

Answer

\sqrt{12u + 4}

dönüşümü uygulanmalıdır.

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi), rastgele sürekli değişken simülasyonu için

U = F(X)

prensibini kullanır. Sorudaki PDF fonksiyonu için ilk olarak

\int_2^x \frac{t}{6} dt

işlemiyle

F(x) = \frac{x^2 - 4}{12}

birikimli dağılım fonksiyonu elde edilir. Ardından bu ifade

u

'ya eşitlenip simülasyon algoritmasında kullanılacak olan

x

formülü yalnız bırakıldığında

x = \sqrt{12u + 4}

ters dönüşüm denklemi elde edilir. X'in tanım aralığı

[2, 4]

olduğundan karekök işlemi pozitif sonuç vermelidir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2}{12} - \frac{4}{12} = \frac{x^2 - 4}{12}

Ters dönüşüm yöntemi (olasılık integral dönüşümü) için fonksiyonun CDF formuna geçilmesi gereklidir.

2

Bulunan birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımdan gelen

u

değerine eşitleyin.

u = \frac{x^2 - 4}{12}

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre rastgele

U

değişkeni

F(X)

'e eşittir.

3

Eşitlikte

x

'i

u

cinsinden yalnız bırakarak ters fonksiyonu (

x = F^{-1}(u)

) elde edin.

12u = x^2 - 4 \implies x^2 = 12u + 4 \implies x = \sqrt{12u + 4}

(Tanım aralığı pozitif olduğundan pozitif kök alınır).

Simülasyon sisteminin rastgele

u

sayılarından anlamlı

x

sürelerini üretebilmesi için dönüşüm kuralının açık haline ihtiyacı vardır.

Key Concept

Olasılık integral dönüşümü kullanılarak herhangi bir sürekli dağılımdan,

U(0,1)

düzgün dağılımı yardımıyla rastgele sayı üretilmesi (Ters dönüşüm yöntemi).

Question 9Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yapılan bir araştırmada, belirli bir kamu hizmetinden yararlanan vatandaşların işlem süreleri (saat cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 2(x-1) & , \ 1 < x < 2 \\ 0 & , \ \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu hizmet sürecini bilgisayar ortamında simüle etmek isteyen bir araştırmacı, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemini kullanacaktır. $U$ , $(0, 1)$ aralığında standart düzgün (üniform) dağılıma sahip bir rastgele değişken olmak üzere, $X$ değişkenini üretmek için kullanılacak ters dönüşüm fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{U+2}{2}

1 - \sqrt{U}

1 + \sqrt{U}

1 + \sqrt{U+1}

U^2 + 1

Show answer & explanation

Answer: $1 + \sqrt{U}$

Answer

Doğru simülasyon fonksiyonu

1 + \sqrt{U}

olmalıdır.

Ters dönüşüm yönteminde temel prensip,

U \sim Uniform(0,1)

olmak üzere

U = F(X)

eşitliğini

X

cinsinden çözmektir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu

2(x-1)

olan değişkenin

(1, x)

aralığındaki belirli integrali

F(x) = (x-1)^2

sonucunu verir.

U = (X-1)^2

denkleminden

X

'in

(1, 2)

aralığında tanımlı olduğu göz önünde bulundurularak pozitif kök seçildiğinde

X = 1 + \sqrt{U}

üreteç fonksiyonu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) elde et.

F(x) = \int_{1}^{x} 2(t-1) dt = (t^2 - 2t) \Big|_1^x = (x^2 - 2x) - (1 - 2) = (x-1)^2

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre,

F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında düzgün dağılıma sahiptir ve simülasyon için

X

'i bulmak adına CDF formülüne ihtiyaç vardır.

2

Elde edilen CDF'i

U

'ya eşitle ve

X

için denklemi çöz.

(X-1)^2 = U \implies X-1 = \pm\sqrt{U}

Ters dönüşüm (inverse transform) yönteminde,

U = F(X)

eşitliğinden yararlanılarak hedef rastgele değişken

X = F^{-1}(U)

şeklinde yalnız bırakılır.

3

X

'in tanım aralığını dikkate alarak uygun kökü seç.

X \in (1, 2)

olduğundan

X-1 > 0

olmalıdır. Bu nedenle pozitif kök alınarak

X = 1 + \sqrt{U}

bulunur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu aralık olan

(1, 2)

sınırları dışına çıkmamak için denklemin matematiksel olarak doğru kökünün seçilmesi gerekir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir finansal risk analisti, belirli bir türev ürünün getirisini modellemek için $0 < x < 2$ aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkenini incelemektedir.

Analist, olasılık integral dönüşümünü (probability integral transform) uygulayarak $Y = F(X)$ rastgele değişkenini elde etmiş ve daha sonra simülasyon çalışmalarında kullanmak üzere $W = -2 \ln(Y)$ şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlamıştır. ( $F(x)$ , $X$ 'in birikimli dağılım fonksiyonudur.)

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[W]$ ) ve varyansı ( $Var(W)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

E[W] = 2, \quad Var(W) = 4

E[W] = 2, \quad Var(W) = 2

E[W] = \frac{1}{2}, \quad Var(W) = \frac{1}{4}

E[W] = -2, \quad Var(W) = 4

E[W] = 4, \quad Var(W) = 16

Show answer & explanation

Answer: $E[W] = 2, \quad Var(W) = 4$

Answer

E[W] = 2, \quad Var(W) = 4

değerlerini içeren seçenektir.

Soru, Olasılık İntegral Dönüşümünün temel bir sonucuna dayanır.

X

'in dağılımı ne olursa olsun (sürekli olmak şartıyla),

Y = F(X)

değişkeni (0,1) aralığında Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Soruda verilen

f(x)

fonksiyonu kullanılarak

F(X)

'in bulunup uzun uzun integral alınmasına gerek yoktur, bu zaman kaybettirici bir çeldiricidir.

Y \sim Uniform(0,1)

olduğu bilindiğinde,

W = -2 \ln(Y)

değişkeni Üstel dağılım özellikleri kullanılarak çözülür.

-\ln(Y) \sim Exp(\lambda=1)

olduğundan,

E[-\ln Y] = 1

ve

Var(-\ln Y) = 1

olur.

W = 2(-\ln Y)

olduğu için

E[W] = 2 \times 1 = 2

ve

Var(W) = 2^2 \times 1 = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

dönüşümünün olasılık dağılımını belirlemek.

X

sürekli bir rastgele değişken olduğundan, Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform) teoremine göre

Y \sim Uniform(0,1)

dağılımına sahip olur.

Sürekli bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) ile dönüştürülmesi her zaman (0,1) aralığında düzgün (uniform) dağılım üretir. Soruda verilen

f(x)

fonksiyonu doğrudan integrasyona girilmeden bu kural kullanılarak çözüme kısayoldan ulaşılmasını hedefler.

2

-\ln(Y)

ifadesinin dağılımını ve momentlerini bulmak.

Y \sim Uniform(0,1)

ise,

U = -\ln(Y)

değişkeni

\lambda = 1

parametreli Üstel (Exponential) dağılıma uyar. Bu nedenle

E[U] = 1

ve

Var(U) = 1

olur.

Y = e^{-U}

dönüşümü uygulandığında Üstel dağılımın temel özellikleri ortaya çıkar.

3

W = -2\ln(Y)

değişkeninin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

W = 2U

olarak yazılabilir. Beklenen değerin doğrusallığı gereği

E[W] = 2E[U] = 2(1) = 2

bulunur. Varyansın özelliği gereği ise

Var(W) = 2^2 Var(U) = 4(1) = 4

bulunur.

Beklenen değer doğrusal bir operatördür (

E[aX] = aE[X]

). Varyans operatöründe ise katsayı dışarı karesi alınarak çıkar (

Var(aX) = a^2 Var(X)

).

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre sürekli bir X için Y=F(X) ~ Uniform(0,1) olması ve doğrusal dönüşümlerde varyans özellikleri

Question 11Question →

Bir sismoloji araştırma merkezinde, belirli bir fay hattındaki depremlerin merkez üssüne olan uzaklıkları (kilometre cinsinden) sürekli bir

X

rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} e^{-\frac{x^2}{16}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.
Bu uzaklıkları bir bilgisayar programında simüle etmek için

(0,1)

aralığında düzgün dağılımlı

U

rastgele sayıları üretilmektedir.
Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemi kullanılarak

F(X) = U

eşitliğinden doğrudan elde edilecek

X = F^{-1}(U)

simülasyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

X = -16\ln(1-U)

X = 1 - e^{-\frac{U^2}{16}}

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

X = \frac{1}{4}\sqrt{-\ln(1-U)}

X = \sqrt{-\ln(1-U)}

Show answer & explanation

Answer: $X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}$

Answer

Doğru simülasyon denklemi

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

formülüdür.

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yönteminde, sürekli bir rastgele değişkenin simülasyonu için öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplanır. Verilen

f(x) = \frac{x}{8} e^{-x^2/16}

fonksiyonunun 0'dan

x

'e integrali (

u = t^2/16

dönüşümü yapılarak) alındığında

F(x) = 1 - e^{-x^2/16}

bulunur. Simülasyon gerçekleştirmek için

F(X) = U

eşitliği kurulur:

1 - e^{-X^2/16} = U

. Buradan üslü ifade yalnız bırakılırsa

e^{-X^2/16} = 1 - U

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması (

ln

) alındığında

-\frac{X^2}{16} = \ln(1-U)

denklemine ulaşılır. İçler dışlar çarpımıyla

X^2 = -16\ln(1-U)

olur. Uzaklık negatif olamayacağından (

X>0

) karekök alınarak doğru simülasyon denklemi

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) integral alınarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplamak.

F(x) = \int_0^x \frac{t}{8} e^{-t^2/16} dt = \left[-e^{-t^2/16}\right]_0^x = 1 - e^{-x^2/16}

Ters dönüşüm yöntemi

F(x)

üzerinden çalıştığı için öncelikle sürekli rastgele değişkenin birikimli olasılık fonksiyonu bulunmalıdır.

2

Ters dönüşüm yöntemi kuralı gereği elde edilen CDF fonksiyonunu

U

rastgele değişkenine eşitlemek.

1 - e^{-X^2/16} = U

U \sim Uniform(0,1)

sayılarını istenen Rayleigh dağılımına dönüştürmek için

F(X) = U

temel denklemi kurulur.

3

Kurulan eşitlikten

X

değişkenini cebirsel işlemlerle yalnız bırakarak ters fonksiyonu, yani

F^{-1}(U)

'yu bulmak.

e^{-X^2/16} = 1 - U \implies -\frac{X^2}{16} = \ln(1-U) \implies X^2 = -16\ln(1-U) \implies X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

Simülasyon programında üretilen her düzgün

U

sayısına karşılık gelen tekil bir

X

uzaklık değeri üretebilmek için

X

formülize edilmelidir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Question 12Question →

Bir meteoroloji istasyonunda rüzgar hızı ( $X$ ) verileri için sürekli bir dağılım modeli geliştirilmiştir. Bu modelde $X$ değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile gösterilmektedir. Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi uyarınca, $Y = F(X)$ dönüşümü ile elde edilen rastgele değişkenin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve varyansı ( $Var(Y)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/12

E[Y] = 0

ve

Var(Y) = 1

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/2

E[Y] = 1

ve

Var(Y) = 0

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/4

Show answer & explanation

Answer: $E[Y] = 1/2$ ve $Var(Y) = 1/12$

Answer

Beklenen değerin

1/2

ve varyansın

1/12

olduğu ifade doğrudur.

Sürekli bir rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (

F

) ile dönüştürülmesi, istatistikte temel bir teorem olup sonuçta

[0,1]

aralığında standart düzgün dağılım (

U(0,1)

) üretir. Bu dağılımın teorik beklenen değeri tam orta noktası olan

1/2

, varyansı ise

(b-a)^2/12

formülünden

1/12

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

değişkeninin dağılımını belirle.

Y \sim U(0, 1)

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

değişkeninin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsü

[0,1]

aralığında düzgün dağılır.

2

U(0, 1)

dağılımı için beklenen değeri hesapla.

E[Y] = \frac{0+1}{2} = 0,5

Düzgün dağılımın beklenen değer formülü

E[Y] = \frac{a+b}{2}

şeklindedir.

3

U(0, 1)

dağılımı için varyansı hesapla.

Var(Y) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}

Düzgün dağılımın varyans formülü

Var(Y) = \frac{(b-a)^2}{12}

şeklindedir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü sonucunda elde edilen

Y = F(X)

değişkeni,

X

hangi sürekli dağılıma sahip olursa olsun her zaman

U(0,1)

dağılımına sahip olur.

Practice More

Düzgün dağılımdan elde edilen bir sayıyı kullanarak istenen bir dağılımdan (örneğin Üstel dağılım) veri üretmek için kullanılan Ters Dönüşüm Yöntemini inceleyiniz.

Estimated Time:45s

Question 13Question →

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile gösterilmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) teoremine göre, $Y = F(X)$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Standart Normal Dağılım

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Parametresi

\lambda=1

olan Üstel Dağılım

(0, 1)

aralığında Kesikli Düzgün Dağılım

(-1, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Show answer & explanation

Answer: $(0, 1)$ aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Answer

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (

F

) altındaki dönüşümü, parametrelerinden bağımsız olarak her zaman Standart Düzgün Dağılım (

U(0, 1)

) verir. Bunun nedeni,

P(F(X) \leq y)

olasılığının doğrudan

y

değerine eşit çıkmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(y)

) tanımlayın.

G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu bulmaktır.

2

F(x)

fonksiyonunun tersini alarak eşitsizliği

X

cinsinden ifade edin.

P(X \leq F^{-1}(y))

ve bu ifade

F(F^{-1}(y))

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümünde

F(x)

monoton artan bir fonksiyon olduğu için tersi mevcuttur ve eşitsizliğin yönü değişmez.

3

Elde edilen birikimli dağılım değerini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.

G(y) = y

(burada

0 < y < 1

)

G(y) = y

fonksiyonu,

(0, 1)

aralığındaki Sürekli Düzgün Dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Hints

1

Birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

'in alabileceği değer aralığını düşünün.

2

Y = F(X)

ise

P(Y \leq y)

olasılığını

P(X \leq F^{-1}(y))

şeklinde yazmayı deneyin.

Practice More

Bu teoremin tersi olan 'Ters Dönüşüm Yöntemi'nin (Inverse Transform Sampling) simülasyonlarda nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Teoremi doğrudan hatırlamak en hızlı yoldur: Bir sürekli değişken kendi CDF'si ile dönüştürülürse sonuç her zaman

U(0,1)

olur.

Estimated Time:45s

Question 14Question →

Bir istatistiksel analizde kullanılan sürekli $X$ rastgele değişkeni, kendi birikimli dağılım fonksiyonu ( $F(x)$ ) yardımıyla $Y = F(X)$ şeklinde yeni bir değişkene dönüştürülmüştür.

Olasılık integral dönüşümü teoreminin temel özellikleri dikkate alındığında, elde edilen bu $Y$ değişkeninin $0,30 \leq Y \leq 0,70$ aralığında bir değer alma olasılığı kaçtır?

0,30

0,40

0,70

F(0,40)

Verilen bilgilerle hesaplanamaz;

X

değişkeninin hangi dağılıma sahip olduğunun bilinmesi gerekir.

Show answer & explanation

Answer: $0,40$

Answer

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ile yapılan dönüşüm sonucu elde edilen değişkenin aralık olasılığı

0,40

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

Y = F(X)

dönüşümü yapıldığında, elde edilen

Y

değişkeni her zaman

(0, 1)

aralığında sürekli düzgün dağılım (Uniform) gösterir. Standart düzgün dağılımda, herhangi bir

[a, b] \subseteq [0, 1]

aralığı için olasılık değeri

P(a \leq Y \leq b) = b - a

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

0,30

ve

0,70

sınırları için bu fark

0,70 - 0,30 = 0,40

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenin dağılımını belirlemek.

Y = F(X)

rastgele değişkeni

[0, 1]

aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahiptir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi, sürekli bir değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsünün daima

U(0, 1)

olduğunu kanıtlar.

2

Belirlenen dağılım üzerinden istenen aralık için olasılık hesaplamak.

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = 0,70 - 0,30 = 0,40

.

Sürekli düzgün dağılımda (Uniform), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(y) = 1

olduğu için olasılık değeri doğrudan aralık uzunluğuna (

b-a

) eşittir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Standart Düzgün Dağılım Özellikleri

Alternative Method

Sürekli düzgün dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun

F_Y(y) = y

olduğunu hatırlayarak,

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = F_Y(0,70) - F_Y(0,30) = 0,70 - 0,30

şeklinde doğrudan çözüm yapılabilir.

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Bir banka şubesinde müşterilerin işlem süreleri sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmiştir. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olarak tanımlanmıştır. Verilerin analizi ve standartlaştırılması amacıyla $Y = F(X)$ şeklinde bir olasılık integral dönüşümü uygulanmıştır. Buna göre, rastgele seçilen bir işlemin normalize edilmiş değeri olan $Y$ ’nin $0,75$ ’ten büyük olma olasılığı $P(Y > 0,75)$ kaçtır?

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Show answer & explanation

Answer: $0,25$

Answer

Doğru cevap

0,25

olarak hesaplanan değerdir.

Olasılık integral dönüşümü (Probability Integral Transform) prensibine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

Y = F(X)

dönüşümü yapıldığında

Y

değişkeni her zaman

[0, 1]

aralığında standart düzgün dağılım sergiler. Standart düzgün dağılımda olasılık, doğrudan ilgili aralığın uzunluğuna karşılık gelir. Dolayısıyla

P(Y > 0,75)

olasılığı,

1 - 0,75 = 0,25

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık integral dönüşümü teoremini uygula.

Y = F(X) \sim \text{Uniform}(0, 1)

Sürekli bir

X

rastgele değişkeni kendi birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

ile dönüştürüldüğünde, elde edilen

Y

değişkeni her zaman

(0, 1)

aralığında standart düzgün (tekdüze) dağılım gösterir.

2

Standart düzgün dağılım için birikimli olasılık değerini belirle.

P(Y \leq 0,75) = 0,75

Standart düzgün dağılımda

P(Y \leq y) = y

(burada

0 < y < 1

) olduğu bilinmektedir.

3

İstenen "büyüktür" olasılığını hesaplamak için tamlayan olay kuralını kullan.

P(Y > 0,75) = 1 - 0,75 = 0,25

Bir olayın gerçekleşme olasılığı, toplam olasılık olan

1

’den olayın gerçekleşmeme olasılığının çıkarılmasına eşittir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü

Question 16Question →

Bir üretim tesisinde imal edilen elektronik parçaların kullanım ömrü, birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisleri, bu parçaların dayanıklılık verilerini simülasyon ortamında test etmek amacıyla $Y = F(X)$ dönüşümünü uygulamaktadır.

Buna göre, elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

(0, 1)

aralığında düzgün (üniform) dağılım

Standart normal dağılım

(0, 1)

aralığında üstel dağılım

Parametresi

p=0,5

olan Bernoulli dağılımı

(-1, 1)

aralığında düzgün dağılım

Show answer & explanation

Answer: $(0, 1)$ aralığında düzgün (üniform) dağılım

Answer

(0, 1)

aralığında düzgün (üniform) dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, eğer

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F

bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ise,

Y = F(X)

rastgele değişkeni daima

(0, 1)

aralığında düzgün dağılıma (Standart Uniform) sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda herhangi bir dağılımdan rastgele sayı üretmek için temel teşkil eder.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(y)

) tanımlayın.

G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu incelemektir.

2

F

fonksiyonunun sürekli ve artan olma özelliğini kullanarak eşitsizliği çözün.

P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y

F(x)

birikimli dağılım fonksiyonu olduğu için tanım gereği

P(X \leq x) = F(x)

eşitliği kullanılır.

3

Elde edilen

G(y) = y

sonucunu bilinen dağılımlarla karşılaştırın.

Y \sim Uniform(0, 1)

Birikimli dağılım fonksiyonu

[0, 1]

aralığında

G(y) = y

olan tek dağılım Standart Düzgün dağılımdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Alternative Method

Yoğunluk dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılarak da çözülebilir.

Y = F(X)

ise

dY/dX = f(X)

olur. Buradan

f_Y(y) = f_X(x) / |dY/dX| = f_X(x) / f_X(x) = 1

elde edilir. Yoğunluğu 1 olan ve

[0, 1]

aralığında tanımlı bu fonksiyon

Uniform(0, 1)

dağılımıdır.

Estimated Time:45s

Question 17Question →

Akademik bir çalışmada, gözlemlenen sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin tüm değerleri, değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu ( $F$ ) kullanılarak yeni bir $Y = F(X)$ değişkenine dönüştürülmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) prensibine göre, elde edilen bu $Y$ değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

0

ile

1

arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Ortalaması

0

ve varyansı

1

olan normal dağılım

Parametresi

1

olan üstel dağılım

-1

ile

1

aralığında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Parametresi

p=0,5

olan binom dağılımı

Show answer & explanation

Answer: $0$ ile $1$ arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Answer

0

ile

1

arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre,

X

rastgele değişkeni sürekli ise,

Y=F(X)

dönüşümü sonucunda elde edilen rastgele değişken her zaman

(0, 1)

aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda rastgele sayı üretimi için temel teşkil eder.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm değişkenini tanımla

Y = F(X)

Soruda verilen olasılık integral dönüşümünün temel formülüdür.

2

Y'nin birikimli dağılım fonksiyonunu (

F_Y(y)

) hesapla

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Dağılımı belirlemek için CDF tanımından başlanır.

3

X üzerinden ifadeyi çöz

P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y

F

fonksiyonu sürekli ve artan olduğu için tersi alınabilir.

4

Sonucu yorumla

F_Y(y) = y

(burada

0 \leq y \leq 1

)

Birikimli dağılım fonksiyonu

F(y)=y

olan dağılım,

U(0,1)

düzgün dağılımıdır.

Key Concept

Olasılık integral dönüşümü teoremi, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi CDF'si kullanılarak Standart Düzgün Dağılıma (

U(0,1)

) dönüştürülebileceğini ifade eder.

Alternative Method

Teoremin tersini düşünerek; eğer

U \sim U(0,1)

ise

X = F^{-1}(U)

dönüşümünün

X

dağılımını verdiğini hatırlamak,

F(X)=U

ilişkisini kurmayı kolaylaştırabilir.

Estimated Time:45s

Question 18Question →

İstatistiksel modelleme ve bilgisayarlı simülasyon çalışmalarında, belirli bir dağılıma sahip rastgele sayılar üretmek için "Olasılık İntegral Dönüşümü" teoreminden yararlanılır. Birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkeni için, $(0, 1)$ aralığında düzgün dağılıma sahip bir $U$ rastgele değişkeni ( $U \sim U(0, 1)$ ) kullanılarak $X$ değerlerinin elde edilmesini sağlayan temel matematiksel ilişki aşağıdakilerden hangisidir?

X = F^{-1}(U)

X = F(U)

X = 1 - F(U)

X = \sqrt{F(U)}

X = \int_{0}^{U} F(t) dt

Show answer & explanation

Answer: $X = F^{-1}(U)$

Answer

Sürekli bir rastgele değişkenin değerlerini simüle etmek için kullanılan temel ilişki

X = F^{-1}(U)

şeklindedir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

F(X)

dönüşümü

(0,1)

aralığında düzgün dağılır. Simülasyon çalışmalarında bu sürecin tersi işletilerek, düzgün dağılımdan üretilen

U

sayıları, hedef dağılımın ters birikimli fonksiyonu (

F^{-1}

) aracılığıyla

X

değerlerine dönüştürülür.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini hatırla.

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F

onun birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) ise,

Y = F(X)

değişkeni

U(0, 1)

dağılımına sahiptir.

Bu teorem, herhangi bir sürekli dağılım ile standart düzgün dağılım arasındaki köprüyü kurar.

2

Ters Dönüşüm Yöntemini (Inverse Transform Method) uygula.

U = F(X)

eşitliğinde her iki tarafın ters fonksiyonu alınırsa

F^{-1}(U) = F^{-1}(F(X)) = X

elde edilir.

Simülasyonda elimizde

U

değerleri (düzgün dağılımdan üretilen sayılar) olduğu için bilinmeyen

X

değerini çekmek amacıyla fonksiyonun tersine ihtiyaç duyulur.

3

Sonucu formüle et.

X = F^{-1}(U)

Bu ilişki,

(0, 1)

aralığındaki her bir olasılık değerini (

U

), o olasılığa karşılık gelen kuantil değerine (

X

) eşler.

Key Concept

Ters Dönüşüm Yöntemi (Inverse Transform Sampling)

Question 19Question →

Bir trafik mühendisliği çalışmasında, bir kavşaktaki araçların bekleme süreleri ( $X$ ), $[0, 10]$ dakika aralığında birikimli dağılım fonksiyonu $F(x) = \frac{x^2}{100}$ olan bir dağılımla modellenmiştir. Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi) kullanılarak bu dağılımdan bir örneklem değeri üretilmek istendiğinde, standart düzgün dağılımdan elde edilen $u = 0,25$ değeri için üretilen bekleme süresi ( $x$ ) kaç dakikadır?

2,5

5,0

6,4

7,5

25,0

Show answer & explanation

Answer: 5,0

Answer

Üretilen bekleme süresi 5 dakikadır.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeninden veri üretmek için

U \sim U(0,1)

olmak üzere

X = F^{-1}(U)

eşitliği kullanılır. Verilen

F(x) = x^2/100

fonksiyonu için

x = \sqrt{100u}

olur.

u=0,25

değeri yerine yazıldığında

\sqrt{25}=5

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yönteminin temel eşitliğini kurun.

u = F(x) = \frac{x^2}{100}

Ters dönüşüm yöntemi,

[0,1]

aralığındaki düzgün dağılımlı bir sayıyı (

u

), hedef dağılımın ters birikimli fonksiyonu (

F^{-1}

) aracılığıyla ilgili rastgele değişkene dönüştürür.

2

x

değişkenini

u

cinsinden yalnız bırakarak ters fonksiyonu bulun.

x^2 = 100u \Rightarrow x = 10\sqrt{u}

Verilen CDF fonksiyonunun matematiksel tersini alarak

x

değerlerini üretecek formül elde edilir.

3

Verilen

u = 0,25

değerini formülde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayın.

x = 10\sqrt{0,25} = 10 \times 0,5 = 5

Üretilen standart düzgün sayı kullanılarak hedef dağılıma uygun örneklem değeri hesaplanmış olur.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Practice More

Farklı bir dağılım için (örneğin üstel dağılım) ters dönüşüm formülünü türetmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 20Question →

Bir simülasyon çalışmasında, $[0, 1]$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip $U$ rastgele sayıları üretilmiştir. Bu sayılar kullanılarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = 2x, \ (0 < x < 1)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkenine ait değerler elde edilmek istenmektedir. Ters dönüşüm yöntemi (Inverse Transform Method) esas alındığında, $X$ değişkenini $U$ cinsinden ifade eden eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

X = \sqrt{U}

X = U^2

X = 2U

X = \frac{U}{2}

X = 1 - U

Show answer & explanation

Answer: $X = \sqrt{U}$

Answer

İstenen dönüşüm eşitliği

X = \sqrt{U}

şeklindedir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x) = 2x

integrali alındığında birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = x^2

olarak bulunur. Olasılık integral dönüşümü prensibi gereği

Y = F(X)

değişkeni

[0, 1]

aralığında düzgün dağılıma sahiptir. Simülasyon amacıyla bu ilişki tersine çevrildiğinde (

X = F^{-1}(U)

),

X^2 = U

eşitliğinden

X = \sqrt{U}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) hesaplanması

F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2

Olasılık integral dönüşümü ve ters dönüşüm yöntemi için öncelikle değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu bulunmalıdır.

2

F(X) = U

eşitliğinin kurulması

X^2 = U

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu, standart düzgün dağılım sergilediği için

F(X)

ifadesi

U

değişkenine eşitlenir.

3

X

değişkeninin

U

cinsinden yalnız bırakılması

X = \sqrt{U}

Simülasyonda hedef dağılımdan örnekler üretmek için birikimli dağılım fonksiyonunun tersi (

F^{-1}

) alınarak

U

değerleri

X

değerlerine dönüştürülür.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Estimated Time:45s

Olasılık İntegral Dönüşümü

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution