Examkin

Question

Difficulty: HardOlasılık İntegral Dönüşümü

Meteoroloji Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir bölgedeki yıllık maksimum rüzgar hızlarının limit aşım değerlerini sürekli bir XX rastgele değişkeni ile modellemektedir. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x)'tir. Uzman, aşırı rüzgar hızlarının dönüş periyotlarını ve risk analizlerini yapabilmek için olasılık integral dönüşümünden yararlanarak yeni bir YY rastgele değişkenini aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

Y=−4ln⁡(1−F(X))Y = -4 \ln(1 - F(X))

Buna göre, YY rastgele değişkeninin beklenen değeri E(Y)E(Y) ve varyansı Var(Y)Var(Y) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. E(Y)=4,Var(Y)=16E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16Answer
  2. B
    E(Y)=14,Var(Y)=116E(Y) = \frac{1}{4}, \quad Var(Y) = \frac{1}{16}
  3. C
    E(Y)=4,Var(Y)=4E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 4
  4. D
    E(Y)=−4ln⁡(0.5),Var(Y)=16ln⁡2(0.5)E(Y) = -4 \ln(0.5), \quad Var(Y) = 16 \ln^2(0.5)
  5. E
    E(Y)=1,Var(Y)=1E(Y) = 1, \quad Var(Y) = 1

Answer

E(Y)=4,Var(Y)=16E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16 seçeneği doğrudur.
Sürekli bir XX rastgele değişkeni için F(X)F(X) standart düzgün dağılıma (U(0,1)U(0,1)) sahiptir. 1−F(X)1 - F(X) dönüşümü de yapısal olarak aynı sınırları koruduğu için o da U(0,1)U(0,1) dağılır. İfadeyi U=1−F(X)U = 1 - F(X) olarak tanımladığımızda, Y=−4ln⁡(U)Y = -4 \ln(U) olur. Bu dönüşüm, ortalaması 4 olan bir Üstel (Exponential) dağılım yaratır. Üstel dağılımın özellikleri gereği E(Y)=4E(Y) = 4 ve varyansı Var(Y)=42=16Var(Y) = 4^2 = 16'dır.

Step-by-Step Solution

1
F(X)F(X)'in dağılımını belirleme
F(X)∼U(0,1)F(X) \sim U(0,1)
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu kendi üzerinden değerlendirildiğinde her zaman (0,1)(0,1) aralığında standart düzgün dağılıma (Uniform) uyar.
2
1−F(X)1 - F(X) ifadesinin dağılımını bulma
U=1−F(X)∼U(0,1)U = 1 - F(X) \sim U(0,1)
Eğer bir değişken (0,1)(0,1) aralığında düzgün dağılıyorsa, o değişkeni 1'den çıkarmak dağılımı değiştirmez (simetri özelliği).
3
Y=−4ln⁡(U)Y = -4 \ln(U) değişkeninin dağılımını türetme
P(Y≤y)=1−e−y/4P(Y \leq y) = 1 - e^{-y/4}
Birikimli dağılım yöntemiyle (CDF): P(−4ln⁡U≤y)=P(ln⁡U≥−y/4)=P(U≥e−y/4)P(-4 \ln U \leq y) = P(\ln U \geq -y/4) = P(U \geq e^{-y/4}). U∼U(0,1)U \sim U(0,1) olduğu için P(U≥k)=1−kP(U \geq k) = 1 - k'dır. Bu da bize 1−e−y/41 - e^{-y/4} fonksiyonunu verir.
4
Elde edilen dağılımın beklenen değerini ve varyansını hesaplama
E(Y)=4,Var(Y)=16E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16
Bulunan CDF, λ=1/4\lambda = 1/4 oran parametresine sahip (veya θ=4\theta = 4 ortalamalı) bir Üstel (Exponential) dağılımdır. Üstel dağılımda ortalama 1/λ1/\lambda, varyans ise 1/λ21/\lambda^2 olarak hesaplanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic