Bir kamu kurumunun proje değerlendirme birimi, belirli bir ölçekteki projelerin tamamlanma… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunun proje değerlendirme birimi, belirli bir ölçekteki projelerin tamamlanma süresini (yıl cinsinden) $0 < x < 1$ aralığında tanımlı $f(x) = 2x$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Kurumun risk yönetimi prosedürleri gereği, ilk 6 ay ( $0.5$ yıl) içinde tamamlanamayan projeler için gecikme maliyetlerini tahmin etmek amacıyla bir simülasyon çalışması yapılacaktır.

Uzman, projenin ilk 6 ayda tamamlanamadığı bilindiğine göre ( $X > 0.5$ ), geri kalan projelerin tamamlanma süresini simüle etmek için Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemini kullanacaktır.

Standart bir $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$ rastgele değişkeni üretildiğine göre, aranan koşullu $X$ simülasyon değerlerini elde etmek için kullanılması gereken standart ters dönüşüm fonksiyonu ( $X = F^{-1}(U)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}$ Answer
B
$\frac{\sqrt{3U}}{2}$
C
$\frac{\sqrt{U + 1}}{2}$
D
$\sqrt{U + 0.25}$
E
$\frac{\sqrt{U} + 1}{2}$

Answer

Doğru dönüşüm

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

ifadesini içeren seçenektir.

Olasılık integral (ters) dönüşümünde simülasyon yapılacak bölge için önce koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) bulunur.

X > 0.5

koşulu altında alan

P(X > 0.5) = 0.75

olduğundan, yeni PDF

g(x) = \frac{2x}{0.75} = \frac{8x}{3}

olur. Bu fonksiyonun

0.5

alt sınırı ile birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplandığında

G(x) = \frac{4x^2 - 1}{3}

elde edilir. Ters dönüşüm metodu gereği

G(X) = U

eşitliğinde

X

yalnız bırakılarak çözüldüğünde

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X > 0.5

durumu için koşullu olasılığı (paydayı) hesaplamak.

P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} 2x dx = x^2 \Big|_{0.5}^{1} = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulabilmek için öncelikle koşul olayının gerçekleşme olasılığına ihtiyaç vardır.

X > 0.5

kısıtı altında yeni koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(x)

) türetmek.

g(x) = \frac{f(x)}{P(X > 0.5)} = \frac{2x}{3/4} = \frac{8x}{3}

(Sadece

0.5 < x < 1

aralığı için geçerlidir)

Simülasyon sadece

X > 0.5

olan projeler için yapılacağından, ilgilenilen bölgedeki yeni PDF belirlenmelidir.

Koşullu birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(x)

) hesaplamak.

G(x) = \int_{0.5}^{x} \frac{8t}{3} dt = \frac{4t^2}{3} \Big|_{0.5}^{x} = \frac{4x^2}{3} - \frac{4(0.5)^2}{3} = \frac{4x^2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4x^2 - 1}{3}

Olasılık integral (ters) dönüşümü, birikimli dağılım fonksiyonunun Uniform dağılıma eşitlenmesine (G(X) = U) dayanır.

G(X) = U

eşitliğini çözerek

X

'i yalnız bırakmak ve ters dönüşümü elde etmek.

\frac{4X^2 - 1}{3} = U \implies 4X^2 - 1 = 3U \implies 4X^2 = 3U + 1 \implies X = \sqrt{\frac{3U + 1}{4}} = \frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

Simülasyon algoritmasında üretilen

U(0,1)

rastgele sayılarından istenen dağılıma sahip

X

değerlerini elde etmek için

F^{-1}(U)

fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi) ve Koşullu Olasılık Dağılımları

Alternative Method

Daha pratik ve ileri düzey bir yaklaşım: Orijinal dağılımın CDF'i

F(x) = x^2

olduğundan standart ters dönüşüm

X = \sqrt{V}

şeklindedir (

V \sim U(0,1)

). Soru bizden

X > 0.5

olmasını istemektedir.

X > 0.5 \implies \sqrt{V} > 0.5 \implies V > 0.25

olmalıdır. Demek ki

V

rastgele değişkenini

(0.25, 1)

aralığından tekdüze (uniform) seçmeliyiz. Standart bir

U \sim U(0,1)

değerini bu aralığa eşlersek:

V = 0.25 + 0.75U = \frac{1 + 3U}{4}

olur. Bunu orijinal ters dönüşüme yazarsak:

X = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{3U+1}{4}} = \frac{\sqrt{3U+1}}{2}

bulunur.

Estimated Time:3m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic