Bir elektronik parçanın çalışma ömrünün (saat), beklenen değeri \theta olan üstel dağılıma… — KPSS İstatistik

Bir elektronik parçanın çalışma ömrünün (saat), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Rastgele seçilen $n=2$ adet parçanın ömürleri sırasıyla $X_1$ ve $X_2$ olmak üzere;
$H_0: \theta = 1$
$H_1: \theta = 2$
hipotezleri test edilecektir.

Karar kuralı olarak, parçaların ömürleri toplamı $Y = X_1 + X_2 \ge 3$ olduğunda $H_0$ hipotezinin reddedilmesi belirlenmiştir.

Buna göre, bu hipotez testinin gücü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{5}{2}e^{-1,5}

Testin gücü, alternatif hipotez (

H_1

) doğru kabul edildiğinde test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır. Soruda

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olarak verildiği için

n=2

birimlik örneklem toplamı

Y \sim \text{Gamma}(2, \theta)

dağılımına sahip olur.

H_1

koşulu altında

\theta = 2

değerini alır ve yoğunluk fonksiyonu

f(y) = \frac{y}{4} e^{-y/2}

olarak elde edilir. Red bölgesi

Y \ge 3

olduğundan testin gücü;

\int_{3}^{\infty} \frac{y}{4} e^{-y/2} dy

integralinin sonucudur. Kısmi integrasyon kuralı işletildiğinde hesaplanan kesin değer

\frac{5}{2}e^{-1,5}

olmaktadır.

Örneklem toplamı olan Y istatistiğinin genel dağılımını belirle.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğundan toplamları

Y = X_1 + X_2 \sim \text{Gamma}(\alpha=2, \beta=\theta)

dağılımına sahip olur. Olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(y) = \frac{y}{\theta^2} e^{-y/\theta}, \quad y > 0

şeklindedir.

Karar kuralı doğrudan Y istatistiği üzerinden tanımlandığı için bu istatistiğin örnekleme dağılımına ihtiyaç vardır.

Alternatif hipotez (

H_1

) varsayımı altında Y'nin dağılımını yaz.

H_1

altında

\theta = 2

olduğu için, Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(y) = \frac{y}{4} e^{-y/2}

haline gelir.

Testin gücü, istatistiğin alternatif hipotez altındaki dağılımı üzerinden kritik bölgeye düşme olasılığının hesaplanmasıdır.

Testin gücünü veren belirli integrali kur.

Güç

= P(Y \ge 3 \mid \theta = 2) = \int_{3}^{\infty} \frac{y}{4} e^{-y/2} dy

Karar kuralında red bölgesi

Y \ge 3

olarak verilmiştir.

Kısmi integrasyon yöntemini kullanarak integralin çözümünü hesapla.

İntegralde

u = y/2

dv = 1/2 e^{-y/2} dy

dönüşümü yapılırsa; sonuç

\left[ -e^{-y/2}(\frac{y}{2} + 1) \right]_{3}^{\infty} = 0 - \left( -e^{-1,5}(1,5 + 1) \right) = \frac{5}{2}e^{-1,5}

olarak bulunur.

Matematiksel olarak olabilirlik olasılığını sonlu bir cebirsel değere ulaştırmak için analitik çözüm gereklidir.

Testin Gücü ve Gamma Dağılımı

Question