Bir X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1},… — KPSS İstatistik

Bir

X

rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1

olarak verilmiştir.

Bu dağılımdan alınan tek bir $X$ gözlemi temel alınarak, $\theta$ parametresi için $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir. Belirlenen karar kuralına göre, $X > c$ olduğunda $H_0$ hipotezi reddedilmektedir.

Bu testin anlamlılık düzeyi (I. tip hata olasılığı) $\alpha = 0,20$ olarak belirlendiğine göre, testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

A
0,04
B
0,20
0,36Answer
D
0,64
E
0,80

Answer

Testin gücü 0,36 olarak hesaplanmıştır.

Testin gücü (Power),

H_1

hipotezi doğruyken

H_0

hipotezinin reddedilme olasılığıdır. İlk olarak anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) faydalanarak

c

kritik değeri bulunur:

\alpha = P(X > c \mid \theta = 1) = \int_c^1 1 dx = 1 - c = 0,20

, buradan

c = 0,80

elde edilir. Daha sonra,

H_1

hipotezi (

\theta=2

) altındaki dağılım kullanılarak güç hesaplanır: Güç

= P(X > 0,80 \mid \theta = 2) = \int_{0,80}^1 2x dx = x^2 \Big|_{0,80}^1 = 1^2 - 0,80^2 = 1 - 0,64 = 0,36

bulunur.

Step-by-Step Solution

Yokluk hipotezi (H0) altında, verilen alfa değeri için kritik bölge sınırını (c) hesapla.

c = 0,80

Anlamlılık düzeyi (alfa), H0 doğru iken test istatistiğinin kritik bölgeye düşme olasılığıdır. H0 altında f(x; 1) = 1 olduğundan, P(X > c) = 1 - c = 0,20 eşitliğinden c = 0,80 bulunur.

Alternatif hipotez (H1) altında, X > 0,80 olma olasılığını hesaplayarak testin gücünü bul.

Testin Gücü = 0,36

Testin gücü, H1 doğru iken H0 hipotezini reddetme olasılığıdır. H1 altında f(x; 2) = 2x olduğundan, güç = integrali (0,80'den 1'e) 2x dx = 1^2 - (0,80)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 olarak hesaplanır.

Key Concept

Testin Gücü (Power of a Test) ve Kritik Bölge

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic