Examkin

Question

Difficulty: HardGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

X1,X2X_1, X_2 rassal değişkenleri U(0,θ)U(0, \theta) sürekli düzgün dağılımından alınmış bir örneklemi göstersin. H0:θ=2H_0: \theta = 2 yokluk hipotezi, H1:θ=3H_1: \theta = 3 alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Bu test için test istatistiği olarak Y=max⁡(X1,X2)Y = \max(X_1, X_2) sıra istatistiği kullanılmış ve red bölgesi (kritik bölge) Y>cY > c biçiminde tanımlanmıştır.

Testin anlamlılık düzeyi (I. tip hata olasılığı) α=0,25\alpha = 0,25 olduğuna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. 23\frac{2}{3}Answer
  5. E
    19\frac{1}{9}

Answer

Doğru cevap 2/3'tür. Önce Y istatistiğinin dağılımı bulunarak alfa yardımıyla kritik bölge sınırı hesaplanır, ardından alternatif hipotez dağılımı kullanılarak testin gücü bulunur.
Testin gücünü bulabilmek için öncelikle birinci tip hata olasılığı (alfa = 0,25) kullanılarak kritik c değeri bulunmalıdır. Maksimum istatistiği olan Y'nin kümülatif dağılım fonksiyonu FY(y)=y2/θ2F_Y(y) = y^2/\theta^2 biçimindedir. H0 hipotezinde θ=2\theta=2 olduğundan α=1−c2/4=0,25\alpha = 1 - c^2/4 = 0,25 eşitliğinden c2=3c^2=3 elde edilir. Testin gücü ise, alternatif hipotez olan θ=3\theta=3 altında test istatistiğinin red bölgesine (Y > c) düşme olasılığıdır. Bu olasılık 1−FY(3∣θ=3)=1−3/9=2/31 - F_Y(\sqrt{3} \mid \theta=3) = 1 - 3/9 = 2/3 olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Y=max⁡(X1,X2)Y = \max(X_1, X_2) sıra istatistiğinin kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) bulun.
FY(y)=P(max⁡(X1,X2)≤y)=P(X1≤y)P(X2≤y)=(yθ)2=y2θ2F_Y(y) = P(\max(X_1, X_2) \leq y) = P(X_1 \leq y)P(X_2 \leq y) = \left(\frac{y}{\theta}\right)^2 = \frac{y^2}{\theta^2}
Red bölgesi Y istatistiği üzerinden tanımlandığı için, kritik değeri (c) bulabilmek amacıyla Y'nin dağılım fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
H0:θ=2H_0: \theta = 2 hipotezi ve α=0,25\alpha = 0,25 kullanılarak cc kritik değerini hesaplayın.
α=P(Y>c∣θ=2)=1−FY(c∣θ=2)=1−c24\alpha = P(Y > c \mid \theta = 2) = 1 - F_Y(c \mid \theta = 2) = 1 - \frac{c^2}{4}. Buradan 0,25=1−c24  ⟹  c24=0,75  ⟹  c2=3  ⟹  c=30,25 = 1 - \frac{c^2}{4} \implies \frac{c^2}{4} = 0,75 \implies c^2 = 3 \implies c = \sqrt{3} bulunur.
Anlamlılık düzeyi (alfa), yokluk hipotezi doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.
3
Bulunan c=3c = \sqrt{3} değerini kullanarak H1:θ=3H_1: \theta = 3 hipotezi altında testin gücünü (1−β1-\beta) hesaplayın.
Gu¨c¸=P(Y>3∣θ=3)=1−FY(3∣θ=3)=1−(3)232=1−39=1−13=23\text{Güç} = P(Y > \sqrt{3} \mid \theta = 3) = 1 - F_Y(\sqrt{3} \mid \theta = 3) = 1 - \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Testin gücü, alternatif hipotez doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır (doğru olan H1 hipotezini kabul etme / H0'ı doğru şekilde reddetme).

Key Concept

Sıra İstatistikleri ile Hipotez Testi ve Güç Fonksiyonu
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

More questions from this topic