Varyansı 16 olarak bilinen normal dağılımlı bir kitleden çekilen 16 birimlik rastgele bir … — KPSS İstatistik

Varyansı $16$ olarak bilinen normal dağılımlı bir kitleden çekilen $16$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ ile gösterilmektedir.

Kitlenin bilinmeyen $\mu$ ortalaması için kurulan $H_0: \mu = 20$ yokluk hipotezi, $H_1: \mu > 20$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Bu test için belirlenen ret bölgesi $C = \{ \bar{X} \in \mathbb{R} : \bar{X} > 21,5 \}$ olduğuna göre, $\mu = 22,5$ değeri için testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

( $Z \sim N(0,1)$ olmak üzere standart normal dağılımın bazı birikimli olasılık değerleri şöyledir: $P(Z \le 1) = 0,8413$ , $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ , $P(Z \le 2) = 0,9772$ )

A
$0,0668$
B
$0,1587$
$0,8413$ Answer
D
$0,9332$
E
$0,9772$

Answer

0,8413

Testin gücü, alternatif hipotez doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır. Soruda güç,

\mu = 22,5

değeri için istenmektedir ve ret bölgesi

\bar{X} > 21,5

olarak verilmiştir. Buna göre Güç =

P(\bar{X} > 21,5 \mid \mu = 22,5)

şeklinde yazılır. Örneklem ortalaması

\bar{X}

'in standart sapması

\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n} = 4 / \sqrt{16} = 1

'dir. Değerler standart normal formata (Z) dönüştürüldüğünde:

P(Z > \frac{21,5 - 22,5}{1}) = P(Z > -1)

elde edilir. Normal dağılımın simetri özelliğinden dolayı

P(Z > -1) = P(Z \le 1)

olur ve soruda verilen bilgi kullanılarak güç

0,8413

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Testin gücü kavramını tanımlamak

Güç = P(H_0 reddedilir | H_1 doğrudur) = P(X_bar > 21,5 | mu = 22,5)

Testin gücü, alternatif hipotezdeki bir değer varsayımı altında, test istatistiğinin belirlenen kritik bölgeye (ret bölgesine) düşme olasılığıdır.

Örneklem ortalamasının standart sapmasını hesaplamak

sigma_{X_bar} = sigma / sqrt(n) = 4 / sqrt(16) = 1

Z dönüşümü yapabilmek için örneklem ortalamasının standart hatasına ihtiyaç vardır.

Standart normal dağılım (Z) dönüşümünü uygulamak

Z = (21,5 - 22,5) / 1 = -1

İhtiyaç duyulan olasılık değerini standart normal dağılım tablosundan okuyabilmek için değişken standardize edilir.

İstenen olasılığı hesaplamak

P(Z > -1) = P(Z <= 1) = 0,8413

Z dağılımı sıfıra göre simetrik olduğundan, P(Z > -1) değeri ile P(Z <= 1) değeri aynıdır ve bu da aranan güç değeridir.

Key Concept

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic