Examkin

Question

Difficulty: MediumSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğündeki evrak kayıt masasında bekleyen ve işlem gören toplam dosya sayısı, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenmektedir.

Bu masadaki işleyişe ait geçiş hızları (saat başına) aşağıda verilmiştir:
- Masa boşken yeni dosya gelme hızı: λ0=3\lambda_0 = 3
- Masada 1 dosya varken yeni dosya gelme hızı: λ1=2\lambda_1 = 2
- Masada 2 dosya varken kapasite dolduğundan yeni dosya kabul edilmemektedir (λ2=0\lambda_2 = 0).
- Masada 1 dosya varken işlemin tamamlanma hızı: μ1=1\mu_1 = 1
- Masada 2 dosya varken memurun artan iş yüküyle hızlanması sonucu işlemin tamamlanma hızı: μ2=4\mu_2 = 4

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    211\frac{2}{11}
  3. C
    37\frac{3}{7}
  4. D
    34\frac{3}{4}
  5. 611\frac{6}{11}Answer

Answer

Uzun dönemde sistemde tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı 611\frac{6}{11} olarak hesaplanır.
Kararlı durumda (steady-state) doğum-ölüm süreçleri için denge denklemleri kullanılarak her durumun olasılığı P0P_0 cinsinden bulunur. Verilen hızlar kullanıldığında P1=3P0P_1 = 3 P_0 ve P2=1.5P0P_2 = 1.5 P_0 elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralından hareketle P0(1+3+1.5)=1P_0 (1 + 3 + 1.5) = 1 denklemi kurularak P0=211P_0 = \frac{2}{11} bulunur. Soruda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istendiğinden P1=3×211=611P_1 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11} olarak hesaplanıp doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini oluşturun.
Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} genel formülünden faydalanarak P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 denklemleri yazılır.
Kararlı durumda her bir durum için giriş hızları toplamı, çıkış hızları toplamına eşit olmalıdır.
2
Soruda verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirerek P1P_1 ve P2P_2'yi P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=31P0=3P0P_1 = \frac{3}{1} P_0 = 3 P_0
P2=24P1=12(3P0)=1.5P0P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (3 P_0) = 1.5 P_0
Tüm durumların olasılıklarını tek bir bilinmeyen (P0P_0) cinsinden yazarak ortak denkleme hazırlık yapmak için.
3
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması kuralını uygulayarak P0P_0'ı bulun.
P0+P1+P2=1  ⟹  P0+3P0+1.5P0=1  ⟹  5.5P0=1  ⟹  P0=15.5=211P_0 + P_1 + P_2 = 1 \implies P_0 + 3 P_0 + 1.5 P_0 = 1 \implies 5.5 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}
Olasılık aksiyomları gereği, sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı daima 1 olmalıdır.
4
P0P_0 değerini kullanarak soruda istenen P1P_1 (sistemde 1 dosya olma) olasılığını hesaplayın.
P1=3P0=3×211=611P_1 = 3 P_0 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}
Soruda kararlı durumda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic