Sürekli bir kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır: f(x… — KPSS İstatistik

Sürekli bir kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta}, & 0 \leq x \leq \sqrt{\theta} \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu kitleye ait $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklem üzerinden $\theta$ parametresi ( ${\theta > 0}$ ) için

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

istatistiği oluşturulmuştur.

Buna göre, $T$ istatistiğinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\frac{3n+1}{12n}\theta^2$ Answer
B
$\frac{1}{12n}\theta^2$
C
$\frac{3n+4}{12n}\theta^2$
D
$\frac{1}{3n}\theta^2$
E
$\frac{6n+1}{12n}\theta^2$

Answer

\frac{3n+1}{12n}\theta^2

MSE (Hata Kareler Ortalaması), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden integral alınarak

E[X^2] = \theta/2

bulunur. Örneklem ortalaması yapısındaki

T

istatistiğinin beklenen değeri de

\theta/2

olup, yan miktarı

-\theta/2

olarak hesaplanır. Ardından

E[X^4] = \theta^2/3

bulunarak

X^2

'nin varyansı

\theta^2/12

elde edilir. Bu durumda

T

'nin varyansı

\theta^2/(12n)

olur. MSE formülü uygulandığında,

\theta^2/(12n) + (\theta/2)^2 = \frac{3n+1}{12n}\theta^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X^2

'nin beklenen değerini hesaplayarak

T

tahmin edicisinin yan miktarını (Bias) bul.

E[X^2] = \int_0^{\sqrt{\theta}} x^2 \frac{2x}{\theta} dx = \frac{2}{\theta} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^{\sqrt{\theta}} = \frac{\theta}{2}

. Buradan

E[T] = \frac{\theta}{2}

ve Yan

= E[T] - \theta = -\frac{\theta}{2}

elde edilir.

MSE formülünde kullanılacak olan yan miktarını (Bias) belirlemek için tahmin edicinin beklenen değeri gereklidir.

X^4

'ün beklenen değerini hesaplayarak

X^2

'nin varyansını bul.

E[X^4] = \int_0^{\sqrt{\theta}} x^4 \frac{2x}{\theta} dx = \frac{2}{\theta} \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^{\sqrt{\theta}} = \frac{\theta^2}{3}

. Varyans formülünden

Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2}{12}

bulunur.

Tahmin edicinin varyansını hesaplayabilmek için öncelikle örneği oluşturan

X_i^2

terimlerinin varyansına ihtiyaç vardır.

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{1}{n} \sum X_i^2\right) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot Var(X^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{12n}

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve katsayı karesi alınarak dışarı çıkar.

Varyans ile yan miktarının karesini toplayarak MSE değerini elde et.

MSE(T) = Var(T) + Bias^2 = \frac{\theta^2}{12n} + \left(-\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{\theta^2}{12n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{1+3n}{12n}\theta^2

Hata Kareler Ortalaması, teorik olarak

Var(T) + [E[T]-\theta]^2

formülü ile ifade edilir.

Key Concept

Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yan-Varyans Ayrışımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic