Examkin

Question

Difficulty: Very hardGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bir XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)=θxθ+1,x>1f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x > 1

olarak verilmiştir.

H0:θ=2H_0: \theta = 2 yokluk hipotezi, H1:θ=1H_1: \theta = 1 alternatif hipotezine karşı tek bir XX gözlemi kullanılarak test edilecektir. Bu test için belirlenen red bölgesi (kritik bölge) X>cX > c şeklindedir.

Testin I. tip hata yapma olasılığı (anlamlılık düzeyi) α=0,04\alpha = 0,04 olduğuna göre, testin gücü kaçtır?

  1. A
    0,020,02
  2. B
    0,040,04
  3. 0,200,20Answer
  4. D
    0,800,80
  5. E
    0,960,96

Answer

Doğru cevap 0,200,20'dir. Testin gücü hesaplanırken önce verilen anlamlılık düzeyinden kritik değer (c=5c=5) bulunur, daha sonra alternatif hipotez altındaki güç fonksiyonu değeri hesaplanır.
Testin gücü (1−β1-\beta), alternatif hipotez (H1H_1) doğru kabul edildiğinde testin red bölgesine düşme olasılığıdır. İlk aşamada, yokluk hipotezi (H0:θ=2H_0: \theta=2) altında I. tip hata olasılığı (0,040,04) integrallenerek c=5c=5 kritik değeri elde edilir. İkinci aşamada, H1:θ=1H_1: \theta=1 parametresi kullanılarak X>5X > 5 bölgesinin altında kalan alan hesaplandığında 15\frac{1}{5} yani 0,200,20 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Anlamlılık düzeyi (α\alpha) kullanılarak red bölgesi sınırını (cc) belirleyen denklemin kurulması.
α=P(X>c∣θ=2)=∫c∞2x3dx=[−x−2]c∞=1c2\alpha = P(X > c \mid \theta = 2) = \int_{c}^{\infty} \frac{2}{x^3} dx = \left[ -x^{-2} \right]_{c}^{\infty} = \frac{1}{c^2}
Testin gücünü bulabilmek için öncelikle H0'ı reddetmemize neden olan X>cX > c bölgesinin sayısal sınırını bulmamız gerekir.
2
cc kritik değerinin hesaplanması.
1c2=0,04  ⟹  c2=25  ⟹  c=5\frac{1}{c^2} = 0,04 \implies c^2 = 25 \implies c = 5
Birinci adımda bulduğumuz integrali, soruda verilen I. tip hata olasılığı olan 0,040,04'e eşitleyerek H0 hipotezi için kritik değeri netleştiririz.
3
Bulunan cc değeri ile alternatif hipotez (H1:θ=1H_1: \theta = 1) altında testin gücünün hesaplanması.
Gu¨c¸=P(X>5∣θ=1)=∫5∞1x2dx=[−x−1]5∞=15=0,20G\ddot{u}\c{c} = P(X > 5 \mid \theta = 1) = \int_{5}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -x^{-1} \right]_{5}^{\infty} = \frac{1}{5} = 0,20
Testin gücü (1−β1-\beta), alternatif hipotez doğru iken test istatistiğinin red bölgesine düşme (yani H0'ı doğru bir şekilde reddetme) olasılığıdır.

Key Concept

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü Hesaplaması
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

More questions from this topic