Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, poliçe sahiplerinin hasar bildirim sürelerini mode… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, poliçe sahiplerinin hasar bildirim sürelerini modellemek için sürekli bir $X$ rastgele değişkeni tanımlamıştır. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) $F_X(x)$ olarak verilmiş olup, kesinlikle artan ve sürekli bir fonksiyondur.

Birimin yaptığı yeni bir risk modellemesinde,

X

değişkeni kullanılarak

V = 3 \cdot F_X(X) + 1

W = -2 \ln(1 - F_X(X))

şeklinde iki yeni performans göstergesi tanımlanmıştır.

Buna göre; $V$ değişkeninin varyansı, $W$ değişkeninin beklenen değeri ve $P(V = 2.5)$ nokta olasılığı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{3}{4}$ , $2$ ve $0$ Answer
B
$\frac{1}{4}$ , $2$ ve $0$
C
$\frac{3}{4}$ , $2 \ln 2$ ve $\frac{1}{3}$
D
$\frac{3}{4}$ , $2$ ve $\frac{1}{3}$
E
$\frac{3}{4}$ , $0$ ve $0$

Answer

\frac{3}{4}

2

0

değerlerini veren seçenektir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre sürekli bir

X

değişkeni için

F_X(X) \sim Uniform(0,1)

'dir. Bu bilgi kullanılarak

V = 3U + 1

değişkeninin varyansı doğrusal dönüşüm kurallarıyla

9 \cdot (1/12) = 3/4

olarak bulunur.

W = -2\ln(1-U)

değişkeninin beklenen değeri ters dönüşüm prensibiyle parametresi

\lambda=1/2

olan üstel dağılıma eşit olduğundan (veya integral ile)

2

bulunur. Sürekli bir rastgele değişkenin tek bir noktadaki olasılığı sıfır olduğundan

P(V=2.5) = 0

'dır.

Step-by-Step Solution

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulama.

U = F_X(X)

dönüşümünün

(0,1)

aralığında standart sürekli düzgün dağılıma (

U \sim Uniform(0,1)

) sahip olduğu belirlenir.

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F_X

onun artan birikimli dağılım fonksiyonudur.

V

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(U) = \frac{1}{12}

olduğundan,

Var(V) = Var(3U + 1) = 3^2 \cdot Var(U) = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4}

bulunur.

Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı

Var(aX+b) = a^2 Var(X)

şeklindedir.

W

değişkeninin beklenen değerini bulma.

W = -2 \ln(1-U)

ifadesi ters dönüşüm (inverse transform) yöntemiyle

\lambda = 1/2

olan üstel dağılımı (Exponential) ifade eder. Beklenen değer

E[W] = \frac{1}{1/2} = 2

olarak bulunur. (Alternatif olarak

\int_0^1 -2\ln(1-u)du

integrali çözülerek

2

elde edilir).

W

'nin dağılım özelliklerini veya beklenen değer integralini kullanarak sonuca ulaşmak.

P(V = 2.5)

olasılığını belirleme.

P(V = 2.5) = 0

olarak bulunur.

V

rastgele değişkeni sürekli bir dağılıma (

Uniform(1,4)

) sahip olduğundan, sürekli değişkenlerde belirli bir tek noktadaki olasılık değeri her zaman sıfırdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic