Examkin

Question

Difficulty: MediumNeyman-Pearson Lemması

Bir XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1 ve θ>0\theta > 0 şeklinde tanımlanmıştır. Bu kitleden rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem kullanılarak H0:θ=1H_0: \theta = 1 yokluk hipotezine karşı H1:θ=2H_1: \theta = 2 alternatif hipotezi test edilecektir. Neyman-Pearson Lemmasına göre, bu hipotez testi için en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (cc bir sabittir.)

  1. ∏i=1nxi>c\prod_{i=1}^n x_i > cAnswer
  2. B
    ∏i=1nxi<c\prod_{i=1}^n x_i < c
  3. C
    ∑i=1nxi>c\sum_{i=1}^n x_i > c
  4. D
    ∑i=1nln⁡(xi)<c\sum_{i=1}^n \ln(x_i) < c
  5. E
    \bar{x} < c

Answer

En güçlü (MP) testin red bölgesi ∏i=1nxi>c\prod_{i=1}^n x_i > c şeklindedir.
Neyman-Pearson Lemmasına göre en güçlü test, yokluk hipotezinin olabilirlik fonksiyonunun alternatif hipotezin olabilirlik fonksiyonuna oranının bir sabitten küçük olduğu bölgedir. Bu problemde oran 1/(2n∏xi)<k1/(2^n \prod x_i) < k şeklindedir. Burada çarpım terimi paydada olduğu için, oran küçüldükçe çarpım değeri büyür. Dolayısıyla red bölgesi ∏xi>c\prod x_i > c formuna dönüşür.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik fonksiyonlarını (Likelihood) tanımla.
L(θ)=∏i=1nθxiθ−1=θn(∏xi)θ−1L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n (\prod x_i)^{\theta-1}
Neyman-Pearson oranını kurmak için her iki hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonları gereklidir.
2
H0H_0 ve H1H_1 hipotezleri için olabilirlik değerlerini oranla.
L(H0)L(H1)=1n(∏xi)1−12n(∏xi)2−1=12n∏xi\frac{L(H_0)}{L(H_1)} = \frac{1^n (\prod x_i)^{1-1}}{2^n (\prod x_i)^{2-1}} = \frac{1}{2^n \prod x_i}
Neyman-Pearson Lemması uyarınca MP test, L(H0)/L(H1)<kL(H_0)/L(H_1) < k kriterine dayanır.
3
Eşitsizliği örneklem istatistiğini yalnız bırakacak şekilde düzenle.
12n∏xi<k  ⟹  2n∏xi>1k  ⟹  ∏xi>1k⋅2n\frac{1}{2^n \prod x_i} < k \implies 2^n \prod x_i > \frac{1}{k} \implies \prod x_i > \frac{1}{k \cdot 2^n}
Kritik bölgeyi (red bölgesini) gözlemlere dayalı bir karar kuralına dönüştürmek gerekir.
4
Sabitleri tek bir değerde birleştir.
∏i=1nxi>c\prod_{i=1}^n x_i > c
Karar kuralındaki tüm bilinen sabitler (n, k, 2) cc gibi tek bir kritik değerde toplanabilir.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

Hints

1
Neyman-Pearson Lemması'nın temel formülü olan L(H0)/L(H1)<kL(H_0)/L(H_1) < k ifadesini yazarak başlayın.
2
H0H_0 altında θ=1\theta=1 koyduğunuzda fonksiyonun f(x)=1f(x)=1 (Düzgün dağılım) olduğunu, H1H_1 altında ise f(x)=2xf(x)=2x olduğunu fark edin.
3
Paydada yer alan ∏xi\prod x_i terimini eşitsizliğin karşı tarafına atarken eşitsizliğin yön değiştireceğini (veya paydadaki ifadenin büyümesinin oranı küçülteceğini) unutmayın.

Practice More

Aynı dağılım için α=0.05\alpha = 0.05 anlamlılık düzeyinde n=1n=1 için kritik değeri (cc) hesaplamayı deneyin.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic