Examkin

Question

Difficulty: MediumNeyman-Pearson Lemması

Bir sinyal işleme uzmanı, radar sisteminden elde edilen gürültü genliklerinin x>0x > 0 ve θ>0\theta > 0 olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Rayleigh dağılımına uygun olduğunu değerlendirmektedir:

f(x;θ)=xθ2e−x22θ2f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}

nn birimlik bir rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n kullanılarak H0:θ=θ0H_0: \theta = \theta_0 yokluk hipotezine karşı H1:θ=θ1H_1: \theta = \theta_1 (burada θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 dır) alternatif hipotezini test etmek için Neyman-Pearson Lemması'na göre elde edilen en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nxi2≥c\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq cAnswer
  2. B
    ∑i=1nxi2≤c\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c
  3. C
    ∑i=1nxi≥c\sum_{i=1}^n x_i \geq c
  4. D
    ∏i=1nxi≤c\prod_{i=1}^n x_i \leq c
  5. E
    ∑i=1nln⁡(xi)≥c\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \geq c

Answer

En güçlü (MP) testin red bölgesi ∑i=1nxi2≥c\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c şeklindedir.
Neyman-Pearson Lemması uyarınca, olabilirlik oranı L(θ0)L(θ1)\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} hesaplandığında, üstel terimde ∑xi2\sum x_i^2 ifadesinin katsayısı −12(1θ02−1θ12)-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}) olarak bulunur. θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 olduğunda 1θ02>1θ12\frac{1}{\theta_0^2} > \frac{1}{\theta_1^2} olur, dolayısıyla parantez içi pozitif, katsayının tamamı ise negatiftir. Bu negatif katsayı nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve red bölgesi 'büyüktür' formuna (≥c \geq c ) dönüşür.

Step-by-Step Solution

1
Rayleigh dağılımı için nn birimlik örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.
L(θ)=∏i=1nxiθ2nexp⁡(−∑i=1nxi22θ2)L(\theta) = \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\theta^2}\right)
Neyman-Pearson testi, H0H_0 ve H1H_1 altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranına dayanır.
2
Olabilirlik oranını Λ=L(θ0)L(θ1)≤k\Lambda = \frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k olarak kurun.
θ12nθ02nexp⁡(−∑xi22[1θ02−1θ12])≤k\frac{\theta_1^{2n}}{\theta_0^{2n}} \exp\left( -\frac{\sum x_i^2}{2} [\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}] \right) \leq k
En güçlü testin kritik bölgesi bu oran üzerinden tanımlanır.
3
Sabitleri sağ tarafa toplayın ve logaritma alarak test istatistiğini yalnız bırakın.
−12(1θ02−1θ12)∑xi2≤ln⁡(k′)-\frac{1}{2} (\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}) \sum x_i^2 \leq \ln(k')
Üstel ifadeden kurtulmak ve sadece gözlemlere bağlı olan kısmı bulmak için logaritma kullanılır.
4
θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 bilgisini kullanarak katsayının işaretini kontrol edin ve eşitsizliği düzenleyin.
∑xi2≥c\sum x_i^2 \geq c (çünkü −12(1θ02−1θ12)-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}) değeri negatiftir).
Negatif bir sayıya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirir.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

Alternative Method

Alternatif olarak, Rayleigh dağılımının Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile üstel dağılıma (λ=1/2θ2\lambda = 1/2\theta^2) dönüştüğü hatırlanabilir. Üstel dağılımda λ\lambda parametresi için MP testinin yönü biliniyorsa, oradan da sonuca gidilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic