Examkin

Question

Difficulty: EasyNeyman-Pearson Lemması

Bir araştırma kapsamında incelenen ve θ>0\theta > 0 parametreli üstel dağılıma (f(x;θ)=θe−θx,x>0f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0) sahip olan bir kitle üzerinden XX şeklinde tek bir gözlem yapılmıştır. H0:θ=θ0H_0: \theta = \theta_0 yokluk hipotezine karşı H1:θ=θ1H_1: \theta = \theta_1 (burada θ1>θ0\theta_1 > \theta_0) alternatif hipotezini test etmek amacıyla Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. x≤cx \leq cAnswer
  2. B
    x≥cx \geq c
  3. C
    ex≥ce^x \geq c
  4. D
    x=cx = c
  5. E
    x2≤cx^2 \leq c

Answer

En güçlü testin red bölgesi x≤cx \leq c formundadır.
Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test, L(θ0)L(θ1)≤k\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k şartını sağlayan bölgedir. Üstel dağılım için bu oran θ0θ1e(θ1−θ0)x≤k\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k halini alır. θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 olduğu için (θ1−θ0)(\theta_1 - \theta_0) pozitiftir ve logaritma alındığında xx değişkeninin yönü 'küçüktür' (x≤cx \leq c) şeklinde kalır. Sezgisel olarak, büyük bir θ\theta parametresi daha küçük gözlem değerleri üretme eğilimindedir, bu yüzden küçük değerler alternatif hipotezi işaret eder.

Step-by-Step Solution

1
Yokluk ve alternatif hipotezler altında olabilirlik fonksiyonlarını yazın.
L(θ0)=θ0e−θ0xL(\theta_0) = \theta_0 e^{-\theta_0 x} ve L(θ1)=θ1e−θ1xL(\theta_1) = \theta_1 e^{-\theta_1 x}
Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranının kullanılmasını gerektirir.
2
Olabilirlik oranını (kk sabitine göre) oluşturun.
L(θ0)L(θ1)=θ0e−θ0xθ1e−θ1x≤k\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_0 e^{-\theta_0 x}}{\theta_1 e^{-\theta_1 x}} \leq k
En güçlü testin kritik bölgesi bu oranın belirli bir eşik değerinden küçük olduğu bölgedir.
3
Eşitsizliği xx değişkeni için sadeleştirin.
θ0θ1e(θ1−θ0)x≤k⇒e(θ1−θ0)x≤k′⇒(θ1−θ0)x≤ln⁡(k′)\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k \Rightarrow e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k' \Rightarrow (\theta_1 - \theta_0)x \leq \ln(k')
Üstel ifadeleri sadeleştirmek için her iki tarafın logaritması alınır.
4
θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 bilgisini kullanarak nihai yönü belirleyin.
x≤ln⁡(k′)θ1−θ0=cx \leq \frac{\ln(k')}{\theta_1 - \theta_0} = c
θ1−θ0>0\theta_1 - \theta_0 > 0 olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması'na göre basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının (L(H0)/L(H1)L(H_0)/L(H_1)) bir eşik değerinden küçük olduğu bölgeyi esas alır.

Hints

1
Neyman-Pearson Lemması'nın temel formülü olan L(θ0)L(θ1)≤k\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k yapısını hatırlayın.
2
Üstel dağılımın beklenen değerinin 1/θ1/\theta olduğunu düşünün. Eğer alternatif hipotezdeki θ\theta daha büyükse, beklenen değer hakkında ne söylenebilir?
3
Olabilirlik oranını yazdıktan sonra her iki tarafın doğal logaritmasını (ln) alarak xx değerini yalnız bırakın ve θ1−θ0\theta_1 - \theta_0 farkının işaretine dikkat edin.

Practice More

Aynı soruyu θ1<θ0\theta_1 < \theta_0 durumu için çözerek red bölgesinin yönünün nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic