Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin kusurlu olma olasılığı p'dir. Üretim sürecinin … — KPSS İstatistik

Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin kusurlu olma olasılığı $p$ 'dir. Üretim sürecinin kontrolü için rastgele seçilen çipler tek tek incelenmekte ve ilk kusurlu çip bulunana kadar geçen deneme sayısı $X$ rassal değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu, $x = 1, 2, \dots$ olmak üzere $P(X=x) = (1-p)^{x-1}p$ şeklindedir.

Üretim sürecinde kusur oranının düştüğünü iddia eden bir kalite kontrol uzmanı, $H_0: p \ge 0,5$ yokluk hipotezine karşı $H_1: p < 0,5$ alternatif hipotezini test etmek istemektedir. Uzman, ilk kusurlu çipi bulmak için $3$ veya daha fazla çip incelemesi gerekirse ( $X \ge 3$ ) yokluk hipotezini reddedecektir.

Buna göre, gerçek kusur oranının $p = 0,2$ olması durumunda bu testin gücü kaçtır?

A
$0,128$
B
$0,250$
C
$0,360$
$0,640$ Answer
E
$0,488$

Answer

Gerçek kusur oranının

p=0,2

olması durumunda testin gücü

0,640

'tır.

Doğru yanıt, alternatif hipotez altındaki gerçek parametre değeri

p=0,2

iken test istatistiğinin belirlenen red bölgesine (

X \ge 3

) düşme olasılığı olan

0,640

değerini göstermektedir. Bu değer tümleyen mantığıyla

1 - P(X < 3) = 1 - (0,2 + 0,16) = 0,640

şeklinde veya geometrik dağılımın

P(X \ge k) = (1-p)^{k-1}

doğrudan formülüyle

(1-0,2)^{3-1} = 0,8^2 = 0,640

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Testin gücü (Power) tanımını ve red bölgesini belirleme.

Testin Gücü =

P(H_0 \text{ reddedilir} | H_1 \text{ doğrudur})

. Red bölgesi

X \ge 3

olarak verilmiştir. Bu nedenle hesaplanması gereken olasılık

P(X \ge 3 | p = 0,2)

'dir.

Güç fonksiyonu, belirli bir alternatif hipotez parametresi (burada

p=0,2

) altında test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığını ifade eder.

Geometrik dağılım fonksiyonunda

p = 0,2

değerini yerine koyarak istenen olasılığı hesaplama.

P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=1) + P(X=2)]

. Değerleri yerine koyarsak:

1 - [0,2 + (0,8)^1(0,2)] = 1 - [0,2 + 0,16] = 1 - 0,36 = 0,64

Sonsuz toplamı (

X=3, 4, \dots

) hesaplamak yerine, tümleyen kuralını kullanarak kabul bölgesindeki olasılıkları (

X=1, 2

)

1

'den çıkarmak işlemi kolaylaştırır.

Key Concept

Güç Fonksiyonu (Power Function) ve Testin Gücü

Alternative Method

Geometrik dağılım mantığıyla,

X \ge 3

olabilmesi için ilk 2 denemenin de mutlaka 'kusursuz' çip ile sonuçlanması gerekir. Bir çipin kusursuz olma olasılığı

1 - p = 0,8

'dir. İlk iki çipin ikisinin birden kusursuz gelme olasılığı doğrudan

0,8 \times 0,8 = 0,640

olarak pratik şekilde bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic