Kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların hedef kalınlıktan sapma miktar… — KPSS İstatistik

Kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların hedef kalınlıktan sapma miktarlarının, ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma ( $N(0, \sigma^2)$ ) uyduğu varsayılmaktadır. Bu kitleye ait $n$ çaplı rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun.

Varyansın belirli bir $\sigma_0^2$ değerinden küçük olup olmadığını incelemek amacıyla,
$H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2$
$H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$
hipotezleri test edilmek isteniyor.

Buna göre, Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine dayalı olarak $\alpha$ anlamlılık düzeyinde elde edilecek Düzgün En Güçlü (UMP) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisi biçimindedir?
( $c$ , $\alpha$ 'ya bağlı olarak belirlenen pozitif bir sabittir.)

A
$\sum_{i=1}^n X_i^2 \geq c$
B
\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \leq c
$\sum_{i=1}^n X_i^2 \leq c$ Answer
D
\left| \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\sigma_0^2 \right| \geq c
E
\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \geq c

Answer

Doğru ret bölgesi, örneklem değerlerinin kareleri toplamının belirli bir sabitten küçük olmasını gerektiren

\sum_{i=1}^n X_i^2 \leq c

eşitsizliğidir.

Verilen problemde kitle ortalaması

0

olarak kesin bir şekilde bilinmektedir. Bu durumda varyans parametresi

\sigma^2

için yeterli istatistik

T = \sum X_i^2

olarak bulunur. Normal dağılım varyansı için kitle ortalaması bilindiğinde, olabilirlik oranı

T

'ye göre monoton artandır (MLR). Karlin-Rubin teoremine göre, MLR özelliği artan olan bir ailede küçüktür (

<

) yönlü bir alternatif hipotezi (

H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2

) test ederken ret bölgesi yeterli istatistiğin sol kuyruğunda yer alır. Bu nedenle en güçlü test

\sum X_i^2 \leq c

iken

H_0

'ı reddeder.

Step-by-Step Solution

Olabilirlik fonksiyonunu ve yeterli istatistiği belirleme

L(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2\right)

olduğundan yeterli istatistik

T = \sum X_i^2

olarak bulunur.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği kitle ortalaması (

\mu=0

) bilindiğinde yeterli istatistik

\sum X_i^2

olmaktadır.

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) yönünü inceleme

\sigma_2^2 > \sigma_1^2

için olabilirlik oranı (LR) hesaplandığında, oranın

T = \sum X_i^2

istatistiğinin artan bir fonksiyonu olduğu görülür.

Olabilirlik oranındaki üstel terimin katsayısı olan

\frac{1}{2\sigma_1^2} - \frac{1}{2\sigma_2^2}

ifadesi pozitiftir, bu nedenle LR istatistikle birlikte artar.

Karlin-Rubin Teoremi'ni uygulayarak ret bölgesini oluşturma

Alternatif hipotez

H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2

yönünde olduğundan, Düzgün En Güçlü testin ret bölgesi

T \leq c

yani

\sum X_i^2 \leq c

şeklindedir.

MLR özelliği

T

'ye göre artan iken, parametrenin küçük olduğu alternatif hipotez durumunda en güçlü test, küçük

T

değerleri için

H_0

'ı reddeder.

Key Concept

Düzgün En Güçlü Testler (Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic