Examkin

Question

Difficulty: HardDüzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bir çağrı merkezinde müşteri taleplerinin çözülme süreci incelenmektedir. Bir talebin ilk görüşmede çözülme olasılığı pp olmak üzere, nn farklı temsilcinin ilk başarılı çözümü elde edene kadar yaptıkları toplam görüşme sayıları birbirinden bağımsız X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri ile modellenmiştir. Her bir XiX_i değişkeninin olasılık fonksiyonu şu şekildedir:

P(Xi=x)=p(1−p)x−1,x=1,2,…P(X_i = x) = p(1-p)^{x-1}, \quad x=1, 2, \dots

Bu dağılımdan çekilen örneklem kullanılarak H0:p≤p0H_0: p \leq p_0 yokluk hipotezine karşı H1:p>p0H_1: p > p_0 alternatif hipotezini α\alpha anlamlılık düzeyinde test etmek için oluşturulacak Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik (red) bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (kk, α\alpha anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabiti ifade etmektedir.)

  1. ∑i=1nXi≤k\sum_{i=1}^n X_i \leq kAnswer
  2. B
    ∑i=1nXi≥k\sum_{i=1}^n X_i \geq k
  3. C
    ∣∑i=1nXi−np0∣≥k\left| \sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{p_0} \right| \geq k
  4. D
    ∏i=1nXi≥k\prod_{i=1}^n X_i \geq k
  5. E
    ∑i=1nln⁡(Xi)≥k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \geq k

Answer

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi ∑i=1nXi≤k\sum_{i=1}^n X_i \leq k eşitsizliği ile tanımlanan bölgedir.
Verilen Geometrik dağılım probleminin olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde, p2>p1p_2 > p_1 için L(p2)/L(p1)L(p_2)/L(p_1) oranı yeterli istatistik olan ∑Xi\sum X_i'nin monoton azalan bir fonksiyonudur (çünkü (1−p2)/(1−p1)<1(1-p_2)/(1-p_1) < 1). Karlin-Rubin Teoremi uyarınca, H1:p>p0H_1: p > p_0 şeklindeki tek yönlü alternatif hipotez test edilirken, red bölgesi olabilirlik oranının büyük olduğu değerlerde, yani bu soru özelinde ∑Xi\sum X_i istatistiğinin küçük olduğu değerlerde aranmalıdır. Bu yüzden UMP testinin red bölgesi ∑Xi≤k\sum X_i \leq k biçimindedir. Sezgisel olarak da; başarı olasılığı (pp) ne kadar yüksekse, ilk başarıya ulaşmak için gereken ortalama deneme sayısı o kadar düşük olacaktır.

Step-by-Step Solution

1
Örneklemin ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunu L(p)L(p) oluştur.
L(p)=∏i=1np(1−p)Xi−1=pn(1−p)∑Xi−nL(p) = \prod_{i=1}^n p(1-p)^{X_i - 1} = p^n (1-p)^{\sum X_i - n} elde edilir.
Neyman-Pearson ve Karlin-Rubin teoremlerini uygulayabilmek için olabilirlik fonksiyonunun yapısının bilinmesi gerekir.
2
p2>p1p_2 > p_1 koşulunu sağlayan iki parametre değeri için olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) hesapla.
L(p2)L(p1)=p2n(1−p2)∑Xi−np1n(1−p1)∑Xi−n=(p2p1)n(1−p21−p1)∑Xi−n\frac{L(p_2)}{L(p_1)} = \frac{p_2^n (1-p_2)^{\sum X_i - n}}{p_1^n (1-p_1)^{\sum X_i - n}} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^n \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^{\sum X_i - n}
Dağılım ailesinin Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olup olmadığını ve bu monotonluğun yönünü belirlemek hedeflenir.
3
Olabilirlik oranının yeterli istatistik T=∑XiT = \sum X_i açısından monotonluk yönünü analiz et.
p2>p1p_2 > p_1 olduğundan 1−p2<1−p11 - p_2 < 1 - p_1 olur. Dolayısıyla 0<1−p21−p1<10 < \frac{1-p_2}{1-p_1} < 1'dir. Taban 1'den küçük olduğu için, bu ifade T=∑XiT = \sum X_i arttıkça kesin olarak azalır.
Red bölgesinin eşitsizlik yönü, olabilirlik oranının istatistiğe göre artan mı yoksa azalan mı olduğuna bağlıdır.
4
Karlin-Rubin Teoremini uygulayarak H1:p>p0H_1: p > p_0 için red bölgesini belirle.
Oran, T=∑XiT = \sum X_i'ye göre azalan (monotonically decreasing) olduğundan, büyük pp değerleri lehine kanıt, TT'nin küçük değerler almasıdır. Bu nedenle UMP testinin red bölgesi ∑Xi≤k\sum X_i \leq k olur.
Karlin-Rubin teoremine göre UMP testi, olabilirlik oranının yeterince büyük olduğu durumlarda H0H_0'ı reddeder. Oran TT'ye göre azalan ise, oranın büyük olması TT'nin küçük olması demektir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler

More questions from this topic