Bir araştırmacı, f(x;\theta) = \theta x^{\theta-1} (0 < x < 1, \theta > 0) olasılık yoğunl… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $f(x;\theta) = \theta x^{\theta-1}$ ( $0 < x < 1$ , $\theta > 0$ ) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir kitleyi incelemektedir. Bu kitleden alınan $n$ çaplı rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ 'dir.

Araştırmacı, $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezini $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test etmek istemektedir.

Karlin-Rubin teoremi (monoton olabilirlik oranı özelliği) dikkate alındığında, bu test için oluşturulacak Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik (red) bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , $\alpha$ anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabittir.)

$\prod_{i=1}^n X_i > c$ Answer
B
$\prod_{i=1}^n X_i < c$
C
$\sum_{i=1}^n X_i > c$
D
$\sum_{i=1}^n \ln(X_i) < c$
E
$\sum_{i=1}^n X_i < c$

Answer

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi

\prod_{i=1}^n X_i > c

formundadır.

UMP testinin bulunması için öncelikle olabilirlik oranı yazılır.

L(\theta_1)/L(\theta_0)

oranı,

\theta_1 > \theta_0

koşulu altında incelendiğinde

T = \prod_{i=1}^n X_i

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonu olarak elde edilir. Karlin-Rubin teoremine göre olabilirlik oranının yeterli istatistiğe bağlı monoton artan olması durumunda,

H_0: \theta \leq \theta_0

hipotezinin reddedileceği kritik bölge istatistiğin yeterince büyük değerler aldığı

T > c

(yani

\prod_{i=1}^n X_i > c

) bölgesi olarak tanımlanır.

Step-by-Step Solution

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}

UMP testini bulmak üzere Karlin-Rubin teoremini uygulamak için öncelikle olabilirlik fonksiyonunun ve olabilirlik oranının tanımlanması gerekir.

\theta_1 > \theta_0

varsayımı ile

L(\theta_1) / L(\theta_0)

oranını hesaplayın.

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{\theta_1^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_1-1}}{\theta_0^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_0-1}} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_0}\right)^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_1-\theta_0}

Dağılımın monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğine sahip olup olmadığını ve bu özelliğin hangi istatistiğe bağlı olduğunu belirlemek için gereklidir.

Olabilirlik oranının monotonluğunu inceleyerek red bölgesini belirleyin.

\theta_1 > \theta_0

olduğundan üs olan

\theta_1-\theta_0 > 0

'dır. Bu nedenle olabilirlik oranı,

T = \prod_{i=1}^n X_i

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Red bölgesi

\prod_{i=1}^n X_i > c

olarak elde edilir.

Karlin-Rubin teoremine göre, oran bir

T

istatistiğinde monoton artan ise, tek yönlü (

H_1: \theta > \theta_0

) testler için UMP red bölgesi

T > c

yapısındadır.

Key Concept

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic