Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu x \geq 1 ve \theta > 0 için, f(x; \theta) = … — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu $x \geq 1$ ve $\theta > 0$ için,

f(x; \theta) = \theta x^{-(\theta+1)}

olarak verilen Pareto dağılımına sahip bir kitleden $n$ hacimli $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini almıştır.

Bu kitleye ait $\theta$ parametresi için $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Buna göre, Karlin-Rubin teoremine dayanarak elde edilecek Düzgün En Güçlü (UMP) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , testin anlamlılık düzeyine bağlı bir sabiti göstermektedir.)

A
$\sum_{i=1}^n \ln X_i > c$
B
$\sum_{i=1}^n X_i < c$
$\sum_{i=1}^n \ln X_i < c$ Answer
D
$\sum_{i=1}^n X_i > c$
E
Bu hipotez yapısı için Düzgün En Güçlü (UMP) test tanımlanamaz.

Answer

Karlin-Rubin teoremine göre doğru ret bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln X_i < c

şeklindedir.

Karlin-Rubin teoremine göre UMP testin ret bölgesi, olabilirlik oranını (MLR) monoton yapan yeterli istatistiğin yönü ile alternatif hipotezin yönü kullanılarak belirlenir. Pareto dağılımında olabilirlik oranı,

\sum \ln X_i

istatistiğine göre eksi işaretli üsten dolayı monoton azalandır. Azalan bir fonksiyon söz konusu olduğunda ve alternatif hipotez büyük yönlü (

>

) olduğunda, test istatistiğinin küçük (

<

) değerleri için

H_0

reddedilir.

Step-by-Step Solution

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta X_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{-(\theta+1)}

Monoton Olabilirlik Oranını (MLR) bulmak için öncelikle olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

\theta_1 > \theta_0

koşulu altında olabilirlik oranını yazın ve düzenleyin.

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_0}\right)^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{-(\theta_1 - \theta_0)}

Test istatistiğini ve oranın bu istatistiğe göre artan mı azalan mı olduğunu belirlemek için oran hesaplanır.

Oran fonksiyonunun monotonluk yönünü belirleyin.

Çarpım ifadesi

\exp\left( -(\theta_1 - \theta_0) \sum \ln X_i \right)

olarak yazılabilir.

\theta_1 > \theta_0

olduğundan, bu oran

\sum \ln X_i

istatistiğine göre kesin olarak monoton azalan bir fonksiyondur.

Karlin-Rubin teoreminde ret bölgesinin yönü, istatistiğin monotonluk yönüne göre tayin edilir.

Karlin-Rubin teoremini uygulayarak ret bölgesini tanımlayın.

H_1: \theta > \theta_0

alternatif hipotezi için, MLR fonksiyonu

\sum \ln X_i

istatistiğine göre monoton azalan olduğundan, ret bölgesi istatistiğin küçük değerlerinde aranır:

\sum_{i=1}^n \ln X_i < c

Eğer oran azalan fonksiyonsa, alternatif hipotez yönündeki büyük değişimler istatistiğin küçük değerlerine karşılık gelir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic