Bir rüzgar enerjisi santrali projesinde, rüzgar hızları X, aşağıdaki olasılık yoğunluk fon… — KPSS İstatistik

Bir rüzgar enerjisi santrali projesinde, rüzgar hızları $X$ , aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0, \theta > 0

Burada $\theta$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla, rastgele seçilen $n$ hacimli bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi kullanılarak,

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta^2$ parametresi için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?
*(Bilgi: Bu dağılım için $E[X^2] = 2\theta^2$ ve $E[X^4] = 8\theta^4$ olarak verilmektedir.)*

$\frac{n+4}{n}\theta^4$ Answer
B
$\frac{4}{n}\theta^4$
C
$\frac{n+8}{n}\theta^4$
D
$\frac{n^2+4}{n^2}\theta^4$
E
$\frac{1}{n}\theta^4$

Answer

MSE(T) = \frac{n+4}{n}\theta^4

ifadesini veren seçenek doğru cevaptır.

Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

formülü kullanılır. Soruda verilen bilgilere göre tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \frac{1}{n} \sum E[X_i^2] = \frac{1}{n}(n \cdot 2\theta^2) = 2\theta^2

olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen parametre

\theta^2

olduğundan, yan miktarı

Bias(T) = E[T] - \theta^2 = 2\theta^2 - \theta^2 = \theta^2

olur. Varyans hesabı için

Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2 = 8\theta^4 - (2\theta^2)^2 = 4\theta^4

formülü uygulanır. Buradan

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{1}{n^2} \sum Var(X_i^2) = \frac{n \cdot 4\theta^4}{n^2} = \frac{4\theta^4}{n}

elde edilir. Sonuç olarak

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{4\theta^4}{n} + \theta^4 = \frac{n+4}{n}\theta^4

bulunur.

Step-by-Step Solution

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplayın.

E[T] = 2\theta^2

Bias(T) = \theta^2

MSE hesaplaması için öncelikle tahmin edicinin parametreden ne kadar saptığını (yanlılık durumunu) bulmak gerekir.

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(X^2) = 4\theta^4

olduğu için

Var(T) = \frac{4\theta^4}{n}

Varyans, MSE formülünün (MSE = Varyans + Yan^2) temel bileşenlerinden biridir.

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde edin.

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{n+4}{n}\theta^4

Hata kareler ortalaması (MSE), varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic