Standart varsayımları sağlayan Y = X\beta + u çoklu doğrusal regresyon modelinde, u hata t… — KPSS İstatistik

Standart varsayımları sağlayan $Y = X\beta + u$ çoklu doğrusal regresyon modelinde, $u$ hata terimleri vektörünün beklenen değeri sıfır ve varyans-kovaryans matrisi $E(uu') = \sigma^2 I_n$ şeklindedir.

Bu modelde, En Küçük Kareler (EKK) parametre tahmin vektörü olan $\hat{\beta}$ 'nın bireysel katsayılarına ait varyansları ve katsayılar arası kovaryansları içeren Varyans-Kovaryans matrisi [ $Var(\hat{\beta})$ ], matris cebiri gösterimiyle aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\sigma^2(X'X)^{-1}$ Answer
B
$\sigma^2 X'X$
C
$\sigma^2[I_n - X(X'X)^{-1}X']$
D
$\sigma^2 X(X'X)^{-1}X'$
E
$\sigma^2 I_{k+1}$

Answer

Doğru eşitlik

\sigma^2(X'X)^{-1}

ifadesidir.

En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

formülüyle hesaplanır. Bu tahmin edicinin varyansını bulmak için matrislerde varyans alma kuralı olan

Var(AY) = A Var(Y) A'

uygulanır. İfade açıldığında

Var(\hat{\beta}) = (X'X)^{-1}X' Var(Y) [(X'X)^{-1}X']'

olur. Devamında

Var(\hat{\beta}) = (X'X)^{-1}X' Var(Y) X(X'X)^{-1}

şeklini alır. Klasik doğrusal modelin varsayımı gereği

Var(Y) = \sigma^2 I_n

matrisidir. Bu değer yerine konulduğunda ifade

\sigma^2 (X'X)^{-1}(X'X)(X'X)^{-1}

halini alır. Ortadaki

(X'X)(X'X)^{-1}

çarpımı birim matrise eşit olacağından sadeleştirildiğinde parametrelerin varyans-kovaryans matrisi

\sigma^2(X'X)^{-1}

olarak kesin bir şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

Türetilecek ifadenin belirlenmesi

En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi olan

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

eşitliğinde her iki tarafın varyansı alınır.

Parametre tahminlerinin örneklem dağılımını ve standart hatalarını bulmak için varyans işlemine ihtiyaç vardır.

Varyans operatörünün matrislere uygulanması

Bir matris ile vektör çarpımının varyans kuralı olan

Var(AY) = A Var(Y) A'

kullanılarak,

Var(\hat{\beta}) = (X'X)^{-1}X' Var(Y) X(X'X)^{-1}

şeklinde açılır.

X

matrisi verilen/sabit kabul edildiğinden varyans operatörü dışına kendisi ve transpozu alınarak çıkar.

Varsayımların yerine konulması ve sadeleştirme

Model varsayımı olan

Var(Y) = \sigma^2 I_n

yerine konulduğunda, ifade

\sigma^2 (X'X)^{-1}(X'X)(X'X)^{-1}

halini alır.

(X'X)(X'X)^{-1} = I_{k+1}

olduğundan sonuç

\sigma^2(X'X)^{-1}

olarak bulunur.

Sabit varyans ve otokorelasyonsuzluk varsayımı kullanılarak matris en sade formuna getirilir.

Key Concept

EKK Tahmin Edicilerinin Varyans-Kovaryans Matrisi

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic