Examkin

Question

Difficulty: EasyTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

θ\theta bir parametre olmak üzere, bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x;θ)={1,θ<x<θ+10,dig˘er durumlarf(x; \theta) = \begin{cases} 1, & \theta < x < \theta + 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden alınan n=1n=1 birimlik bir örneklem (tek bir XX gözlemi) kullanılarak θ\theta parametresi için T=XT = X tahmin edicisi önerilmektedir. Buna göre, TT tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    112\frac{1}{12}
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. 13\frac{1}{3}Answer
  4. D
    712\frac{7}{12}
  5. E
    16\frac{1}{6}

Answer

Tahmin edicinin varyansı olan 1/121/12 ile yan miktarının karesi olan 1/41/4 değerlerinin toplamı 1/31/3 sonucunu verir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre tek bir gözlemin beklenen değeri θ+0,5\theta + 0,5 olup yan miktarı 0,50,5'dir. Varyansı ise 1/121/12'dir. MSE=Var+Bias2MSE = Var + Bias^2 formülüne göre 1/12+(0,5)2=1/12+1/4=4/12=1/31/12 + (0,5)^2 = 1/12 + 1/4 = 4/12 = 1/3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edicinin beklenen değerini (E[T]E[T]) hesaplayınız.
E[T]=E[X]=∫θθ+1x⋅1 dx=θ+0,5E[T] = E[X] = \int_{\theta}^{\theta+1} x \cdot 1 \, dx = \theta + 0,5
Düzgün dağılımın beklenen değeri uç noktaların aritmetik ortalamasıdır.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (BiasBias) hesaplayınız.
Bias(T,θ)=E[T]−θ=(θ+0,5)−θ=0,5Bias(T, \theta) = E[T] - \theta = (\theta + 0,5) - \theta = 0,5
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.
3
Tahmin edicinin varyansını (Var[T]Var[T]) hesaplayınız.
Var(T)=Var(X)=(θ+1−θ)212=112Var(T) = Var(X) = \frac{(\theta+1 - \theta)^2}{12} = \frac{1}{12}
Düzgün dağılımın varyansı (b−a)2/12(b-a)^2/12 formülü ile hesaplanır.
4
Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayınız.
MSE(T)=Var(T)+[Bias(T,θ)]2=112+(0,5)2=112+14=412=13MSE(T) = Var(T) + [Bias(T, \theta)]^2 = \frac{1}{12} + (0,5)^2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken varyans ile yan miktarının karesi toplanır.
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

More questions from this topic