Bir simülasyon çalışmasında, sürekli bir X rastgele değişkeninden rassal değerler üretilme… — KPSS İstatistik

Bir simülasyon çalışmasında, sürekli bir $X$ rastgele değişkeninden rassal değerler üretilmek istenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 2(x-1), & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemi kullanılarak, $(0,1)$ aralığında düzgün dağılıma sahip $U \sim \text{Uniform}(0,1)$ rastgele değişkeninden $X$ değerlerini üretmek için kullanılması gereken dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?

A
$X = 1 + \frac{U}{2}$
B
$X = 1 - \sqrt{U}$
$X = 1 + \sqrt{U}$ Answer
D
$X = 1 + \sqrt{U + 1}$
E
$X = \sqrt{U + 1}$

Answer

Doğru dönüşüm

X = 1 + \sqrt{U}

fonksiyonudur.

Ters dönüşüm yönteminde temel adım

F(X) = U

eşitliğini çözmektir. Verilen yoğunluk fonksiyonunun

1

'den

x

'e kadar integrali alındığında

F(x) = (x-1)^2

elde edilir. Bu ifade

U

'ya eşitlenip

X

yalnız bırakıldığında

X-1 = \pm\sqrt{U}

bulunur. Soruda

X

'in

1 < X < 2

aralığında olduğu belirtildiği için

X-1

ifadesi pozitif olmalıdır. Bu nedenle

X = 1 + \sqrt{U}

dönüşümü doğrudur.

Step-by-Step Solution

X

'in birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_{1}^{x} 2(t-1) dt = (t-1)^2 \Big|_{1}^{x} = (x-1)^2

Olasılık integral dönüşümü yöntemini kullanabilmek için öncelikle rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu bulunmalıdır.

Ters dönüşüm prensibini uygulayarak

F(X) = U

eşitliğini kurun.

(X-1)^2 = U

Yöntemin temel kuralı, hedef dağılımın CDF'sini

(0,1)

aralığında düzgün dağılan

U

rastgele değişkenine eşitlemektir.

Eşitlikten

X

'i çekin ve tanım aralığına uygun olan kökü belirleyin.

X-1 = \pm\sqrt{U}

elde edilir.

1 < X < 2

olduğundan

X-1 > 0

olmalıdır, bu sebeple pozitif kök seçilerek

X = 1 + \sqrt{U}

bulunur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu değer aralığını ihlal etmemek için mutlak değer veya karekök dışına çıkarma işlemlerinde doğru işaret seçilmelidir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi ile Simülasyon)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic