Bir siber güvenlik uzmanı, kritik bir ağa yapılan yetkisiz erişim girişimlerinin sistem ta… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik uzmanı, kritik bir ağa yapılan yetkisiz erişim girişimlerinin sistem tarafından tespit edilme süresini (saniye cinsinden) analiz etmektedir. Tespit süresini modelleyen sürekli $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 \le x \le 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Uzman, sistemin stres kapasitesini ölçmek amacıyla sentetik veriler üretmek için bir simülasyon programı hazırlamaktadır. Bu programda $(0, 1)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahip rastgele $u$ sayıları üretilmektedir.

Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi) prensibi dikkate alındığında, üretilen $u$ sayılarından simülasyona ait $x$ tespit sürelerini elde etmek için aşağıdaki matematiksel dönüşümlerden hangisi uygulanmalıdır?

$\sqrt{12u + 4}$ Answer
B
$\sqrt{12u}$
C
$6u$
D
$-\sqrt{12u + 4}$
E
$\frac{u^2 - 4}{12}$

Answer

\sqrt{12u + 4}

dönüşümü uygulanmalıdır.

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi), rastgele sürekli değişken simülasyonu için

U = F(X)

prensibini kullanır. Sorudaki PDF fonksiyonu için ilk olarak

\int_2^x \frac{t}{6} dt

işlemiyle

F(x) = \frac{x^2 - 4}{12}

birikimli dağılım fonksiyonu elde edilir. Ardından bu ifade

u

'ya eşitlenip simülasyon algoritmasında kullanılacak olan

x

formülü yalnız bırakıldığında

x = \sqrt{12u + 4}

ters dönüşüm denklemi elde edilir. X'in tanım aralığı

[2, 4]

olduğundan karekök işlemi pozitif sonuç vermelidir.

Step-by-Step Solution

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2}{12} - \frac{4}{12} = \frac{x^2 - 4}{12}

Ters dönüşüm yöntemi (olasılık integral dönüşümü) için fonksiyonun CDF formuna geçilmesi gereklidir.

Bulunan birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımdan gelen

u

değerine eşitleyin.

u = \frac{x^2 - 4}{12}

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre rastgele

U

değişkeni

F(X)

'e eşittir.

Eşitlikte

x

u

cinsinden yalnız bırakarak ters fonksiyonu (

x = F^{-1}(u)

) elde edin.

12u = x^2 - 4 \implies x^2 = 12u + 4 \implies x = \sqrt{12u + 4}

(Tanım aralığı pozitif olduğundan pozitif kök alınır).

Simülasyon sisteminin rastgele

u

sayılarından anlamlı

x

sürelerini üretebilmesi için dönüşüm kuralının açık haline ihtiyacı vardır.

Key Concept

Olasılık integral dönüşümü kullanılarak herhangi bir sürekli dağılımdan,

U(0,1)

düzgün dağılımı yardımıyla rastgele sayı üretilmesi (Ters dönüşüm yöntemi).

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic