Examkin

Question

Difficulty: EasyOlasılık İntegral Dönüşümü

Bir istatistiksel analizde kullanılan sürekli XX rastgele değişkeni, kendi birikimli dağılım fonksiyonu (F(x)F(x)) yardımıyla Y=F(X)Y = F(X) şeklinde yeni bir değişkene dönüştürülmüştür.

Olasılık integral dönüşümü teoreminin temel özellikleri dikkate alındığında, elde edilen bu YY değişkeninin 0,30≤Y≤0,700,30 \leq Y \leq 0,70 aralığında bir değer alma olasılığı kaçtır?

  1. A
    0,300,30
  2. 0,400,40Answer
  3. C
    0,700,70
  4. D
    F(0,40)F(0,40)
  5. E
    Verilen bilgilerle hesaplanamaz; XX değişkeninin hangi dağılıma sahip olduğunun bilinmesi gerekir.

Answer

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ile yapılan dönüşüm sonucu elde edilen değişkenin aralık olasılığı 0,400,40 değerine eşittir.
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir XX rastgele değişkeni için Y=F(X)Y = F(X) dönüşümü yapıldığında, elde edilen YY değişkeni her zaman (0,1)(0, 1) aralığında sürekli düzgün dağılım (Uniform) gösterir. Standart düzgün dağılımda, herhangi bir [a,b]⊆[0,1][a, b] \subseteq [0, 1] aralığı için olasılık değeri P(a≤Y≤b)=b−aP(a \leq Y \leq b) = b - a formülüyle hesaplanır. Soruda verilen 0,300,30 ve 0,700,70 sınırları için bu fark 0,70−0,30=0,400,70 - 0,30 = 0,40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenin dağılımını belirlemek.
Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkeni [0,1][0, 1] aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahiptir.
Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi, sürekli bir değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsünün daima U(0,1)U(0, 1) olduğunu kanıtlar.
2
Belirlenen dağılım üzerinden istenen aralık için olasılık hesaplamak.
P(0,30≤Y≤0,70)=0,70−0,30=0,40P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = 0,70 - 0,30 = 0,40.
Sürekli düzgün dağılımda (Uniform), olasılık yoğunluk fonksiyonu f(y)=1f(y) = 1 olduğu için olasılık değeri doğrudan aralık uzunluğuna (b−ab-a) eşittir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Standart Düzgün Dağılım Özellikleri

Alternative Method

Sürekli düzgün dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun FY(y)=yF_Y(y) = y olduğunu hatırlayarak, P(0,30≤Y≤0,70)=FY(0,70)−FY(0,30)=0,70−0,30P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = F_Y(0,70) - F_Y(0,30) = 0,70 - 0,30 şeklinde doğrudan çözüm yapılabilir.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic