Examkin

Question

Difficulty: MediumOlasılık İntegral Dönüşümü
Bir kamu kurumu çağrı merkezine gelen ardışık iki çağrı arasındaki süre (dakika cinsinden), olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x)={2(1−x),0<x<10,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
olan sürekli bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

Kurumun sistem analistleri, çağrı yoğunluğunu analiz etmek amacıyla bir simülasyon yazılımı kullanmaktadır. Yazılım, (0,1)(0,1) aralığında standart düzgün dağılımdan rastgele sayılar (uu) üreterek, Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemiyle bu çağrı sürelerini simüle etmektedir.

Buna göre, yazılımın ürettiği u=0.64u = 0.64 değeri için simüle edilecek çağrı süresi (xx) kaç dakikadır?

  1. A
    0.200.20
  2. 0.400.40Answer
  3. C
    0.640.64
  4. D
    0.680.68
  5. E
    1.601.60

Answer

Simüle edilecek çağrı süresi 0.400.40 dakikadır.
Doğru yanıt 0.400.40'tır. Ters dönüşüm yöntemi simülasyonlarında öncelikle sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu bulunur (F(x)=2x−x2F(x) = 2x - x^2). Sonrasında üretilen düzgün dağılımlı rastgele sayı bu fonksiyona eşitlenir (F(x)=uF(x) = u) ve xx değişkeni yalnız bırakılır. Bu denklem çözüldüğünde x=1±1−ux = 1 \pm \sqrt{1-u} kökleri elde edilir. Rastgele değişkenin tanım aralığı (0<x<10 < x < 1) dikkate alındığında sadece eksi işaretli olan x=1−1−ux = 1 - \sqrt{1-u} kökü geçerli olur. Simülasyon yazılımı tarafından üretilen u=0.64u = 0.64 rastgele sayısı bu doğru formülde yerine konulduğunda x=1−0.60=0.40x = 1 - 0.60 = 0.40 simülasyon sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (F(x)F(x)) hesaplayın.
F(x)=∫0x2(1−t)dt=[2t−t2]0x=2x−x2F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = [2t - t^2]_{0}^{x} = 2x - x^2
Olasılık integral dönüşümü yönteminde, U=F(X)U = F(X) bağıntısı gereği ters fonksiyon işleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu üzerinden yapılması gerekir.
2
Ters dönüşüm yöntemini uygulayarak xx'i verilen uu cinsinden ifade edin.
F(x)=u⇒2x−x2=u⇒x2−2x+u=0F(x) = u \Rightarrow 2x - x^2 = u \Rightarrow x^2 - 2x + u = 0. İkinci dereceden denklemin kök formülü kullanıldığında: x=2±4−4u2=1±1−ux = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4u}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-u} bulunur.
Simülasyon modelinde üretilen her bir uu rastgele değeri için, o dağılıma uygun xx simülasyon değerini verecek ters fonksiyonun (x=F−1(u)x = F^{-1}(u)) matematiksel olarak elde edilmesi gerekir.
3
Değişkenin tanım aralığını dikkate alarak doğru kökü seçin ve verilen u=0.64u = 0.64 değerini formülde yerine koyun.
XX değişkeni 0<x<10 < x < 1 aralığında tanımlı olduğu için x=1−1−ux = 1 - \sqrt{1-u} kökü alınmalıdır. u=0.64u = 0.64 değeri yerine konulduğunda: x=1−1−0.64=1−0.36=1−0.60=0.40x = 1 - \sqrt{1 - 0.64} = 1 - \sqrt{0.36} = 1 - 0.60 = 0.40 elde edilir.
Matematiksel olarak denklem iki farklı kök üretir ancak aranan değer rastgele değişkenin geçerli sınırları içinde kalmalıdır. Artılı kök seçilirse sonuç 1'den büyük çıkar ve bu durum olasılık kurallarına aykırıdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi ile Simülasyon)
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic