Examkin

Question

Difficulty: MediumNeyman-Pearson Lemması

Bir araştırmacı, hassas bir ölçüm cihazındaki sapma hatalarının XX rastgele değişkeni ile modellendiğini ve bu değişkenin aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu bilmektedir:

f(x;λ)=12λe−∣x∣λ,x∈R,λ>0f(x; \lambda) = \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \lambda > 0

Cihazın hata payı parametresini kontrol etmek amacıyla, nn birimlik bağımsız bir X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi üzerinden H0:λ=1H_0: \lambda = 1 yokluk hipotezi, H1:λ=2H_1: \lambda = 2 alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (Most Powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (cc, anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabittir.)

  1. ∑i=1n∣xi∣≥c\sum_{i=1}^n |x_i| \geq cAnswer
  2. B
    ∑i=1n∣xi∣≤c\sum_{i=1}^n |x_i| \leq c
  3. C
    ∑i=1nxi2≥c\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c
  4. D
    ∑i=1nxi2≤c\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c
  5. E
    ∣∑i=1nxi∣≥c\left| \sum_{i=1}^n x_i \right| \geq c

Answer

En güçlü testin red bölgesi ∑i=1n∣xi∣≥c\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c şeklinde ifade edilir.
Neyman-Pearson Lemması kullanılarak L(1)L(2)≤k\frac{L(1)}{L(2)} \leq k oranı kurulduğunda ifadenin logaritması alınarak −12∑∣xi∣≤Sabit-\frac{1}{2}\sum |x_i| \leq Sabit elde edilir. İstatistiği yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde (veya negatif bir sayıyla çarpıldığında) eşitsizlik yön değiştirir ve sonuçta ∑∣xi∣≥c\sum |x_i| \geq c bölgesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
H0H_0 ve H1H_1 hipotezleri altında olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını yazınız.
L(λ)=(2λ)−nexp⁡(−1λ∑i=1n∣xi∣)L(\lambda) = (2\lambda)^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n |x_i|\right). Buna göre L(1)=2−nexp⁡(−∑i=1n∣xi∣)L(1) = 2^{-n} \exp\left(-\sum_{i=1}^n |x_i|\right) ve L(2)=4−nexp⁡(−12∑i=1n∣xi∣)L(2) = 4^{-n} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i|\right) elde edilir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test bölgesi olabilirlik fonksiyonlarının oranına dayanır.
2
Neyman-Pearson red kuralını ( L(λ0)/L(λ1)≤kL(\lambda_0) / L(\lambda_1) \leq k ) oluşturunuz.
L(1)L(2)=2−nexp⁡(−∑∣xi∣)4−nexp⁡(−12∑∣xi∣)=2nexp⁡(−12∑i=1n∣xi∣)≤k\frac{L(1)}{L(2)} = \frac{2^{-n} \exp\left(-\sum |x_i|\right)}{4^{-n} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum |x_i|\right)} = 2^n \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i|\right) \leq k
Red bölgesi kuralı, yokluk hipotezinin olabilirlik değerinin, alternatif hipotezinkine oranının kritik bir eşikten küçük olmasıyla sağlanır.
3
Eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak ifadeyi sadeleştiriniz.
nln⁡(2)−12∑i=1n∣xi∣≤ln⁡(k)n \ln(2) - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq \ln(k). Sabit olan nln⁡(2)n \ln(2) değerini karşıya atarsak: −12∑i=1n∣xi∣≤ln⁡(k)−nln⁡(2)-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq \ln(k) - n \ln(2) bulunur.
Gözlemlere bağlı olan örneklem istatistiğini (∑∣xi∣\sum |x_i|) yalnız bırakmak için logaritmik dönüşüm gereklidir.
4
Eşitsizliğin her iki tarafını −2-2 ile çarparak istatistiği yalnız bırakınız ve eşitsizliğin yönünü değiştiriniz.
Eksi ile çarpıldığından eşitsizlik yön değiştirir: ∑i=1n∣xi∣≥−2(ln⁡(k)−nln⁡(2))\sum_{i=1}^n |x_i| \geq -2 (\ln(k) - n \ln(2)). Sağ taraftaki sabit ifadeye cc dersek, red bölgesi ∑i=1n∣xi∣≥c\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c olur.
Negatif bir sayıyla eşitsizliğin çarpılması/bölünmesi her zaman eşitsizliğin yön değiştirmesine neden olur.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Red Bölgesi Yönü
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic