Examkin

Question

Difficulty: EasyNeyman-Pearson Lemması

Başarı olasılığı pp olan bir Bernoulli sürecinde, ilk başarının gözlemlendiği deneme sayısını gösteren XX rastgele değişkeni P(X=x)=(1−p)x−1p,x=1,2,…P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x=1, 2, \dots olasılık fonksiyonuna sahiptir. Bu kitleye ait tek bir XX gözlemi ile H0:p=0,5H_0: p = 0,5 yokluk hipotezine karşı H1:p=0,2H_1: p = 0,2 alternatif hipotezi test edilmektedir. Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu hipotez testi için en güçlü (MP) testin red bölgesinin biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. x≥cx \geq cAnswer
  2. B
    x≤cx \leq c
  3. C
    x=cx = c
  4. D
    x<1x < 1
  5. E
    0≤x≤c0 \leq x \leq c

Answer

x≥cx \geq c biçimindeki red bölgesidir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre red bölgesi L(x;θ0)L(x;θ1)≤k\frac{L(x; \theta_0)}{L(x; \theta_1)} \leq k formundadır. Geometrik dağılımda başarı olasılığı pp azaldığında (0,5→0,20,5 \rightarrow 0,2), olabilirlik oranı xx değişkeninin artan bir fonksiyonu değil, azalan bir fonksiyonu olur. Bu durumda oran kk değerinden küçük olduğunda xx değeri belirli bir cc kritik değerinden büyük veya eşit olmalıdır. Bu nedenle en güçlü testin red bölgesi x≥cx \geq c şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Yokluk ve alternatif hipotezler altında olabilirlik fonksiyonlarını yazın.
L(x;p=0,5)=0,5xL(x; p=0,5) = 0,5^x ve L(x;p=0,2)=0,8x−1⋅0,2L(x; p=0,2) = 0,8^{x-1} \cdot 0,2
Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranının hesaplanmasını gerektirir.
2
Olabilirlik oranını (L0/L1L_0 / L_1) oluşturun.
L(x;0,5)L(x;0,2)=0,5x0,8x−1⋅0,2=0,5⋅0,5x−10,2⋅0,8x−1=2,5⋅(0,625)x−1\frac{L(x; 0,5)}{L(x; 0,2)} = \frac{0,5^x}{0,8^{x-1} \cdot 0,2} = \frac{0,5 \cdot 0,5^{x-1}}{0,2 \cdot 0,8^{x-1}} = 2,5 \cdot (0,625)^{x-1}
Test istatistiğinin gözlem değerine göre nasıl değiştiğini belirlemek gerekir.
3
Oranı kk sabitine göre düzenleyerek red bölgesini belirleyin.
2,5⋅(0,625)x−1≤k  ⟹  (0,625)x−1≤k′2,5 \cdot (0,625)^{x-1} \leq k \implies (0,625)^{x-1} \leq k' ve 0,625<10,625 < 1 olduğundan x≥cx \geq c elde edilir.
Olabilirlik oranı xx ile ters orantılıdır, bu yüzden oran küçüldükçe xx değeri büyür.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması'na göre basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının (L0/L1L_0/L_1) belirli bir eşik değerinden küçük olduğu bölgedir.

Alternative Method

Mantıksal olarak, başarı olasılığı p=0,2p=0,2 olan bir kitlede ilk başarıyı elde etmek için gereken deneme sayısının, p=0,5p=0,5 olan kitleye göre daha yüksek olması beklenir. Bu nedenle, gözlemlenen xx değerinin çok büyük olması H0H_0 hipotezinden uzaklaşıp H1H_1 lehine karar vermeyi gerektirir, bu da bizi doğrudan x≥cx \geq c sonucuna götürür.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic