\mathbf{X} rastgele vektörü, p boyutlu, ortalama vektörü \boldsymbol{\mu} ve pozitif tanım… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ rastgele vektörü, $p$ boyutlu, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılıma sahiptir ( $\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ ). $\mathbf{A}$ , $p \times p$ boyutlu simetrik bir sabitler matrisi olmak üzere, $(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})$ karesel formunun $k$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımına ( $\chi^2_k$ ) uyması için gerekli ve yeterli koşullar aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin idempotent olması ve $k = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})$ Answer
B
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin idempotent olması ve $k = det(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})$
C
Yalnızca $\mathbf{A}$ matrisinin idempotent olması ve $k = iz(\mathbf{A})$
D
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin simetrik olması ve $k = p$
E
$\mathbf{A}$ ve $\boldsymbol{\Sigma}$ matrislerinin değişmeli ( $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$ ) olması ve $k = iz(\mathbf{A}) \cdot iz(\boldsymbol{\Sigma})$

Answer

Doğru yanıt, karesel formu oluşturan

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

çarpım matrisinin idempotent olması ve serbestlik derecesinin bu matrisin izine (köşegen elemanları toplamına) eşit olması gerektiğini belirten seçenektir.

Çok değişkenli normal dağılım kuramına göre, bir karesel formun ki-kare dağılımına sahip olabilmesi için, karesel formu oluşturan matris (

\mathbf{A}

) ile dağılımın varyans-kovaryans matrisinin (

\boldsymbol{\Sigma}

) çarpımından elde edilen

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent olması şarttır. Bu koşul sağlandığında, serbestlik derecesi söz konusu idempotent matrisin rankına, dolayısıyla izine (trace) eşittir.

Step-by-Step Solution

Çok değişkenli normal dağılımda karesel formların ki-kare dağılımına uyma koşulunu (teoremi) belirlemek.

Genel forma göre,

\mathbf{Y} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})

olmak üzere

\mathbf{Y}'\mathbf{A}\mathbf{Y}

karesel formunun

\chi^2

dağılması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent (

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

) olması gerekir.

Karesel formun dağılımının, bağımsız standart normal değişkenlerin kareleri toplamına indirgenebilmesi için matris cebirindeki bu dönüşüm kuralı zorunludur.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesini hesaplamak.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi

k

, idempotent matrisin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin izine (trace) eşit olduğundan

k = rank(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

olur.

Serbestlik derecesi, dağılımı oluşturan sıfırdan farklı bağımsız bileşenlerin sayısını (özdeğerleri) ifade eder.

Key Concept

Karesel Formların Dağılımı ve İdempotent Matrisler

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic